Kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 18 cm . A titik

Jarak T ke bidang QSV adalah $12\sqrt{3}$ cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik T ke bidang QSV pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 18 cm, kita perlu menentukan koordinat titik-titik tersebut dan persamaan bidang QSV.

Misalkan titik P berada di titik asal (0,0,0).
Karena ini adalah kubus dengan panjang rusuk 18 cm:
P = (0,0,0)
Q = (18,0,0)
R = (18,18,0)
S = (0,18,0)
T = (0,0,18)
U = (18,0,18)
V = (18,18,18)
W = (0,18,18)

Titik T adalah (0,0,18).

Bidang QSV dibentuk oleh titik-titik Q(18,0,0), S(0,18,0), dan V(18,18,18).

Untuk mencari persamaan bidang QSV, kita dapat menggunakan vektor normal. Kita cari dua vektor yang berada di bidang tersebut, misalnya QS dan QV.
QS = S - Q = (0-18, 18-0, 0-0) = (-18, 18, 0)
QV = V - Q = (18-18, 18-0, 18-0) = (0, 18, 18)

Vektor normal bidang (n) adalah hasil perkalian silang QS dan QV:
n = QS x QV
   | i   j   k  |
 = |-18 18  0  |
   | 0  18 18  |

n = i(18*18 - 0*18) - j((-18)*18 - 0*0) + k((-18)*18 - 18*0)
n = i(324) - j(-324) + k(-324)
n = (324, 324, -324)

Kita bisa menyederhanakan vektor normal dengan membaginya dengan 324, sehingga n = (1, 1, -1).

Persamaan bidang QSV adalah $ax + by + cz = d$. Menggunakan vektor normal (1, 1, -1), persamaannya menjadi $1x + 1y - 1z = d$.
Kita gunakan salah satu titik di bidang tersebut, misalnya Q(18,0,0), untuk mencari nilai d:
$1(18) + 1(0) - 1(0) = d$
$18 = d$

Jadi, persamaan bidang QSV adalah $x + y - z = 18$.

Sekarang kita hitung jarak dari titik T(0,0,18) ke bidang $x + y - z - 18 = 0$.
Rumus jarak titik $(x_0, y_0, z_0)$ ke bidang $Ax + By + Cz + D = 0$ adalah:
Jarak = $\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Di sini, $(x_0, y_0, z_0) = (0,0,18)$, A=1, B=1, C=-1, D=-18.

Jarak = $\frac{|1(0) + 1(0) + (-1)(18) - 18|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}}$
Jarak = $\frac{|0 + 0 - 18 - 18|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$
Jarak = $\frac{|-36|}{\sqrt{3}}$
Jarak = $\frac{36}{\sqrt{3}}$

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$:
Jarak = $\frac{36\sqrt{3}}{3}$
Jarak = $12\sqrt{3}$

Jadi, jarak titik T ke bidang QSV adalah $12\sqrt{3}$ cm.