Kurva f(x)=x^3+ax^2+bx+c turun pada interval -2/3<x<1.

a = -1/2, b = -2, c = 3

Pembahasan

Untuk mencari nilai a, b, dan c, kita perlu menggunakan informasi bahwa kurva f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c turun pada interval -2/3 < x < 1 dan melalui titik (2, 5).

Turunan pertama dari f(x) adalah f'(x) = 3x^2 + 2ax + b.
Kurva turun ketika f'(x) < 0.
Karena kurva turun pada interval -2/3 < x < 1, maka akar-akar dari f'(x) = 0 adalah x = -2/3 dan x = 1.

Ini berarti f'(x) dapat ditulis sebagai k(x - (-2/3))(x - 1) = k(x + 2/3)(x - 1) untuk suatu konstanta k.

Karena koefisien x^2 dalam f'(x) adalah 3, maka k haruslah 3.
Jadi, f'(x) = 3(x + 2/3)(x - 1) = 3(x^2 - x + 2/3x - 2/3) = 3(x^2 - 1/3x - 2/3) = 3x^2 - x - 2.

Sekarang kita samakan koefisien f'(x) = 3x^2 + 2ax + b dengan 3x^2 - x - 2:

2a = -1 => a = -1/2
b = -2

Selanjutnya, kurva melalui titik (2, 5), yang berarti f(2) = 5.
Substitusikan x = 2, a = -1/2, dan b = -2 ke dalam persamaan f(x):
f(2) = (2)^3 + (-1/2)(2)^2 + (-2)(2) + c = 5
8 + (-1/2)(4) - 4 + c = 5
8 - 2 - 4 + c = 5
2 + c = 5
c = 3

Jadi, nilai a, b, dan c yang memenuhi adalah a = -1/2, b = -2, dan c = 3.