lim a->b (tana-tanb)/(1+(1-a/b)tanatanb-a/b)=

Nilai limitnya adalah -b.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan substitusi atau identitas trigonometri. 

Misalkan x = a dan y = b. Ketika a mendekati b, maka x mendekati y.

lim a->b (tana-tanb)/(1+(1-a/b)tanatanb-a/b)

Kita dapat memanipulasi ekspresi di dalam limit. Perhatikan bahwa jika a = b, maka pembilang dan penyebut keduanya menjadi nol, sehingga ini adalah bentuk tak tentu 0/0.

Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital, atau mencoba menyederhanakan ekspresi.

Mari kita gunakan identitas tangen:
tan(x-y) = (tanx - tany) / (1 + tanx tany)

Perhatikan penyebut: 1 + (1 - a/b)tanatanb - a/b
= 1 + tanatanb - (a/b)tanatanb - a/b
= (1 + tanatanb) - (a/b)(tanatanb + 1)
= (1 + tanatanb)(1 - a/b)

Jadi, ekspresi menjadi:
(tana - tanb) / [(1 + tanatanb)(1 - a/b)]
= [(tana - tanb) / (1 + tanatanb)] * [1 / (1 - a/b)]
= tan(a-b) * [b / (b-a)]
= -tan(a-b) * [b / (a-b)]

Sekarang kita ambil limit ketika a -> b:
lim a->b [-tan(a-b) * b / (a-b)]

Misalkan h = a-b. Ketika a -> b, maka h -> 0.
= lim h->0 [-tan(h) * b / h]
= -b * lim h->0 [tan(h) / h]

Kita tahu bahwa lim h->0 [tan(h) / h] = 1.

Jadi, limitnya adalah -b * 1 = -b.