lim _(p -> 0) (cos (x+p)-cos x)/(p)=...

Hasil limit adalah -sin(x), yang merupakan definisi turunan dari cos(x).

Pembahasan

Pertanyaan ini menanyakan hasil dari limit:

lim p -> 0 (cos(x+p) - cos(x)) / p

Ini adalah definisi turunan dari fungsi f(x) = cos(x) terhadap x. Menggunakan definisi turunan:

f'(x) = lim h -> 0 (f(x+h) - f(x)) / h

Dalam kasus ini, f(x) = cos(x) dan variabelnya adalah 'p' bukan 'h'. Jadi:

d/dx (cos(x)) = lim p -> 0 (cos(x+p) - cos(x)) / p

Kita tahu bahwa turunan dari cos(x) adalah -sin(x).

Untuk membuktikannya menggunakan aturan L'Hopital (karena jika kita substitusi p=0, kita mendapatkan bentuk 0/0):

lim p -> 0 (cos(x+p) - cos(x)) / p

Turunkan pembilang terhadap p: d/dp (cos(x+p) - cos(x)) = -sin(x+p) * 1 - 0 = -sin(x+p)
Turunkan penyebut terhadap p: d/dp (p) = 1

Maka, limitnya menjadi:

lim p -> 0 (-sin(x+p)) / 1

Substitusikan p = 0:

-sin(x+0) / 1 = -sin(x)

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah -sin(x).