Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulus

lim _(x -> 0) (4 x^(2))/(akar(1+2 sin ^(2) x)-akar(1-3 sin

Pertanyaan

lim $\frac{4x^2}{\sqrt{1+2 \sin^2 x}-\sqrt{1-3 \sin^2 x}}$ saat $x \to 0$ =..

Solusi

Verified

8/5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0. lim $\frac{4x^2}{\sqrt{1+2\sin^2 x}-\sqrt{1-3\sin^2 x}}$ saat $x \to 0$ Mari kita turunkan pembilang dan penyebutnya terhadap x: Turunan pembilang (4x$^2$) = 8x Turunan penyebut ($\sqrt{1+2\sin^2 x}-\sqrt{1-3\sin^2 x}$): Misalkan u = $1+2\sin^2 x$, maka $\frac{du}{dx} = 2(2\sin x)(\cos x) = 4\sin x \cos x = 2\sin(2x)$ Turunan $\sqrt{u}$ adalah $\frac{1}{2\sqrt{u}} \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+2\sin^2 x}} (2\sin(2x)) = \frac{\sin(2x)}{\sqrt{1+2\sin^2 x}}$ Misalkan v = $1-3\sin^2 x$, maka $\frac{dv}{dx} = -3(2\sin x)(\cos x) = -6\sin x \cos x = -3\sin(2x)$ Turunan $\sqrt{v}$ adalah $\frac{1}{2\sqrt{v}} \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1-3\sin^2 x}} (-3\sin(2x)) = \frac{-3\sin(2x)}{2\sqrt{1-3\sin^2 x}}$ Jadi, turunan penyebut adalah $\frac{\sin(2x)}{\sqrt{1+2\sin^2 x}} - \frac{-3\sin(2x)}{2\sqrt{1-3\sin^2 x}} = \frac{\sin(2x)}{\sqrt{1+2\sin^2 x}} + \frac{3\sin(2x)}{2\sqrt{1-3\sin^2 x}}$ Sekarang kita terapkan aturan L'Hopital: lim $\frac{8x}{\frac{\sin(2x)}{\sqrt{1+2\sin^2 x}} + \frac{3\sin(2x)}{2\sqrt{1-3\sin^2 x}}}$ saat $x \to 0$ Kita tahu bahwa lim $\frac{\sin(ax)}{ax} = 1$. Jadi, $\sin(2x) \approx 2x$ saat $x \to 0$. lim $\frac{8x}{\frac{2x}{\sqrt{1+2(2x)^2}} + \frac{3(2x)}{2\sqrt{1-3(2x)^2}}}$ saat $x \to 0$ lim $\frac{8x}{\frac{2x}{1} + \frac{6x}{2}}$ saat $x \to 0$ (mengabaikan suku kuadrat karena mendekati 0) lim $\frac{8x}{2x + 3x}$ saat $x \to 0$ lim $\frac{8x}{5x}$ saat $x \to 0$ = 8/5 Cara lain yang lebih sederhana adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan akar sekawannya: $\frac{4x^2}{\sqrt{1+2 \sin^2 x}-\sqrt{1-3 \sin^2 x}} \times \frac{\sqrt{1+2 \sin^2 x}+\sqrt{1-3 \sin^2 x}}{\sqrt{1+2 \sin^2 x}+\sqrt{1-3 \sin^2 x}}$ $= \frac{4x^2(\sqrt{1+2 \sin^2 x}+\sqrt{1-3 \sin^2 x})}{(1+2 \sin^2 x) - (1-3 \sin^2 x)}$ $= \frac{4x^2(\sqrt{1+2 \sin^2 x}+\sqrt{1-3 \sin^2 x})}{1+2 \sin^2 x - 1+3 \sin^2 x}$ $= \frac{4x^2(\sqrt{1+2 \sin^2 x}+\sqrt{1-3 \sin^2 x})}{5 \sin^2 x}$ Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, sehingga $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} = 1$. $= \frac{4}{5} \times \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2 x} \times \lim_{x \to 0} (\sqrt{1+2 \sin^2 x}+\sqrt{1-3 \sin^2 x})$ $= \frac{4}{5} \times 1 \times (\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0})$ $= \frac{4}{5} \times (1+1)$ $= \frac{4}{5} \times 2$ $= \frac{8}{5}$ Jadi, nilai limitnya adalah 8/5.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi Trigonometri
Section: Limit Fungsi Trigonometri, Aturan L Hopital

Apakah jawaban ini membantu?