lim x->0 ((1 - cosx)/(xsin 2x))=

Nilai limitnya adalah 1/4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin 2x}$, kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satu cara adalah dengan menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hôpital jika diperlukan.

**Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri**
Kita tahu bahwa $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ dan $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan limit:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{x}{2})}{x (2 \sin x \cos x)} $$ 
Kita juga tahu bahwa untuk nilai x yang kecil mendekati 0, $\sin x \approx x$ dan $\sin(\frac{x}{2}) \approx \frac{x}{2}$.

$$ \lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{x}{2})^2}{x (x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{x^2}{4}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

**Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hôpital**
Karena jika kita substitusikan x=0, kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital.

Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:
Turunan pembilang $(1 - \cos x)$ adalah $\sin x$.
Turunan penyebut $(x \sin 2x)$ adalah $(1 \cdot \sin 2x) + (x \cdot 2 \cos 2x) = \sin 2x + 2x \cos 2x$.

Jadi, limitnya menjadi:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x + 2x \cos 2x} $$
Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita mendapatkan $\frac{\sin 0}{\sin 0 + 0} = \frac{0}{0}$. Jadi, kita terapkan aturan L'Hôpital lagi.

Turunan pembilang $(\sin x)$ adalah $\cos x$.
Turunan penyebut $(\sin 2x + 2x \cos 2x)$ adalah $(2 \cos 2x) + (2 \cos 2x + 2x (-2 \sin 2x)) = 4 \cos 2x - 4x \sin 2x$.

Jadi, limitnya menjadi:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{4 \cos 2x - 4x \sin 2x} $$
Sekarang substitusikan x=0:
$$ \frac{\cos 0}{4 \cos 0 - 0} = \frac{1}{4(1)} = \frac{1}{4} $$ 

Ada kesalahan dalam perhitungan di Metode 2. Mari kita periksa kembali.

Kembali ke limit setelah penerapan L'Hopital pertama kali:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x + 2x \cos 2x} $$
Substitusikan x=0:
$$ \frac{\sin 0}{\sin(0) + 2(0)\cos(0)} = \frac{0}{0+0} = \frac{0}{0} $$ 
Mari kita gunakan identitas $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ pada penyebut:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2 \sin x \cos x + 2x \cos 2x} $$
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan $\sin x$ (karena untuk $x \to 0$, $\sin x \neq 0$):
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos x + \frac{2x \cos 2x}{\sin x}} $$
Kita tahu bahwa $\lim_{x 	o 0} \frac{x}{\sin x} = 1$.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos x + 2 \cos 2x \frac{x}{\sin x}} $$
Substitusikan x=0:
$$ \frac{1}{2 \cos 0 + 2 \cos 0 \cdot 1} = \frac{1}{2(1) + 2(1)(1)} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} $$

Masih ada perbedaan dengan metode pertama. Mari kita tinjau kembali Metode 1.

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin 2x} $$
Kita gunakan identitas $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$ dan $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{x}{2})}{x (2\sin x \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(\frac{x}{2})}{x \sin x \cos x} $$
Kita gunakan $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(\frac{x}{2})}{x (2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})) \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{x}{2})}{2x \cos(\frac{x}{2}) \cos x} $$
Gunakan $\lim_{y 	o 0} \frac{\sin y}{y} = 1$. Kita bisa menulis ulang $\sin(\frac{x}{2})$ sebagai $\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{x}{2}$.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{x}{2}}{2x \cos(\frac{x}{2}) \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 \cdot \frac{x}{2}}{2x \cos(\frac{x}{2}) \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{2}}{2x \cos(\frac{x}{2}) \cos x} $$
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos(\frac{x}{2}) \cos x} $$
Sekarang substitusikan x=0:
$$ \frac{1}{4 \cos(0) \cos(0)} = \frac{1}{4(1)(1)} = \frac{1}{4} $$

Jadi, hasil limitnya adalah $\frac{1}{4}$.