Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulus

limit x menuju tak hingga (2x^2 tan(1/x)-x sin(1/x)+1/x)/(x

Pertanyaan

limit x menuju tak hingga (2x^2 tan(1/x)-x sin(1/x)+1/x)/(x cos (2/x))= ....

Solusi

Verified

Nilai limit adalah 2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan sifat limit. Limit yang diberikan adalah: lim (x→∞) [ (2x² tan(1/x) - x sin(1/x) + 1/x) / (x cos(2/x)) ] Kita dapat membagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan x: lim (x→∞) [ (2x tan(1/x) - sin(1/x) + 1/x²) / cos(2/x) ] Sekarang, kita gunakan substitusi u = 1/x. Ketika x → ∞, maka u → 0. Persamaan menjadi: lim (u→0) [ (2(1/u) tan(u) - u sin(u) + u²) / cos(2u) ] Ini masih belum langsung dapat diselesaikan karena ada bentuk tak tentu. Mari kita coba cara lain dengan membagi pembilang dan penyebut dengan suku yang dominan. Kita tahu bahwa untuk u yang mendekati 0: tan(u) ≈ u sin(u) ≈ u cos(u) ≈ 1 - u²/2 Mari kita analisis suku-suku di pembilang dan penyebut secara terpisah: 1. 2x² tan(1/x): Kita tahu bahwa tan(θ)/θ → 1 ketika θ → 0. Maka, tan(1/x)/(1/x) → 1 ketika x → ∞. Jadi, 2x² tan(1/x) = 2x * (x tan(1/x)) = 2x * (tan(1/x)/(1/x)) Ketika x → ∞, ini menjadi 2x * 1 = 2x. 2. x sin(1/x): Kita tahu bahwa sin(θ)/θ → 1 ketika θ → 0. Maka, sin(1/x)/(1/x) → 1 ketika x → ∞. Jadi, x sin(1/x) = sin(1/x) / (1/x) Ketika x → ∞, ini menjadi 1. 3. 1/x²: Ketika x → ∞, 1/x² → 0. 4. x cos(2/x): Ketika x → ∞, 2/x → 0. Maka, cos(2/x) → cos(0) = 1. Jadi, x cos(2/x) → x * 1 = x. Substitusikan kembali ke dalam limit: lim (x→∞) [ (2x - 1 + 0) / x ] Sekarang kita punya: lim (x→∞) [ (2x - 1) / x ] Bagi pembilang dan penyebut dengan x: lim (x→∞) [ (2x/x - 1/x) / (x/x) ] lim (x→∞) [ (2 - 1/x) / 1 ] Ketika x → ∞, 1/x → 0. Jadi, limitnya adalah (2 - 0) / 1 = 2. Jawaban yang benar adalah 2.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi Aljabar
Section: Limit Di Tak Hingga

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...