limit x menuju tak hingga (2x^2 tan(1/x)-x sin(1/x)+1/x)/(x

Nilai limit adalah 2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan sifat limit.

Limit yang diberikan adalah:
lim (x→∞) [ (2x² tan(1/x) - x sin(1/x) + 1/x) / (x cos(2/x)) ]

Kita dapat membagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan x:
lim (x→∞) [ (2x tan(1/x) - sin(1/x) + 1/x²) / cos(2/x) ]

Sekarang, kita gunakan substitusi u = 1/x. Ketika x → ∞, maka u → 0.
Persamaan menjadi:
lim (u→0) [ (2(1/u) tan(u) - u sin(u) + u²) / cos(2u) ]

Ini masih belum langsung dapat diselesaikan karena ada bentuk tak tentu.
Mari kita coba cara lain dengan membagi pembilang dan penyebut dengan suku yang dominan.

Kita tahu bahwa untuk u yang mendekati 0:
tan(u) ≈ u
sin(u) ≈ u
cos(u) ≈ 1 - u²/2

Mari kita analisis suku-suku di pembilang dan penyebut secara terpisah:

1. 2x² tan(1/x):
Kita tahu bahwa tan(θ)/θ → 1 ketika θ → 0. Maka, tan(1/x)/(1/x) → 1 ketika x → ∞.
Jadi, 2x² tan(1/x) = 2x * (x tan(1/x)) = 2x * (tan(1/x)/(1/x)) 
Ketika x → ∞, ini menjadi 2x * 1 = 2x.

2. x sin(1/x):
Kita tahu bahwa sin(θ)/θ → 1 ketika θ → 0. Maka, sin(1/x)/(1/x) → 1 ketika x → ∞.
Jadi, x sin(1/x) = sin(1/x) / (1/x)
Ketika x → ∞, ini menjadi 1.

3. 1/x²:
Ketika x → ∞, 1/x² → 0.

4. x cos(2/x):
Ketika x → ∞, 2/x → 0. Maka, cos(2/x) → cos(0) = 1.
Jadi, x cos(2/x) → x * 1 = x.

Substitusikan kembali ke dalam limit:
lim (x→∞) [ (2x - 1 + 0) / x ]

Sekarang kita punya:
lim (x→∞) [ (2x - 1) / x ]

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
lim (x→∞) [ (2x/x - 1/x) / (x/x) ]
lim (x→∞) [ (2 - 1/x) / 1 ]

Ketika x → ∞, 1/x → 0.
Jadi, limitnya adalah (2 - 0) / 1 = 2.

Jawaban yang benar adalah 2.