lim _(x -> 0) (tan 3 x cos 6 x-tan 3 x)/(2 x^(3))=..

-27

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x \cos 6x - \tan 3x}{2x^3}$, kita dapat memfaktorkan $\tan 3x$ dari pembilang:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x (\cos 6x - 1)}{2x^3}$

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{ax} = 1$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos bx}{bx^2} = \frac{b^2}{2}$.

Kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut sebagai:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \times \frac{3x (\cos 6x - 1)}{2x^3}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \times \frac{3x (-(1 - \cos 6x))}{2x^3}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \times \frac{-3x}{2x^2} \times (1 - \cos 6x)$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} \times \frac{-3}{2x} \times (1 - \cos 6x)$

Perhatikan bahwa $\frac{1 - \cos 6x}{x^2} = \frac{1 - \cos 6x}{(6x)^2} \times \frac{(6x)^2}{x^2} = \frac{1 - \cos 6x}{(6x)^2} \times 36$.

Jadi, ekspresi tersebut menjadi:

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan 3x}{3x} \right) \times \left( \frac{1 - \cos 6x}{x^2} \right) \times \left( \frac{-3}{2} \right)$

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{3x} = 1$.
Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 6x}{x^2} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

Maka, limitnya adalah:

$1 \times 18 \times \left( \frac{-3}{2} \right)$

$= 18 \times \left( \frac{-3}{2} \right)$

$= 9 \times (-3)$

$= -27$

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah -27.