lim x->0 (xtanx)/(1-cos2x) = .......

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Menggunakan manipulasi aljabar:
lim x->0 (xtanx)/(1-cos2x)
Kita tahu bahwa tanx = sinx/cosx dan 1-cos2x = 2sin^2x.
Jadi, limitnya menjadi:
lim x->0 (x * (sinx/cosx)) / (2sin^2x)
= lim x->0 (xsinx) / (2cos^2x * sin^2x)
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x^2:
= lim x->0 (sinx/x) * (x/ (2cos^2x * sin^2x/x))
Kita tahu bahwa lim x->0 (sinx/x) = 1.
= lim x->0 (1) * (x / (2cos^2x * (sinx/x) * sinx))
= lim x->0 x / (2cos^2x * 1 * sinx)
Sekarang, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x lagi:
= lim x->0 1 / (2cos^2x * (sinx/x))
Karena lim x->0 cosx = 1 dan lim x->0 (sinx/x) = 1, maka:
= 1 / (2 * 1^2 * 1)
= 1/2

Menggunakan Aturan L'Hopital (karena bentuknya 0/0):
Turunan dari pembilang (xtanx) adalah tanx + xsec^2x.
Turunan dari penyebut (1-cos2x) adalah 2sin2x.
Jadi, limitnya menjadi:
lim x->0 (tanx + xsec^2x) / (2sin2x)
Ini masih bentuk 0/0, jadi kita gunakan L'Hopital lagi.
Turunan dari tanx + xsec^2x adalah sec^2x + (sec^2x + x * 2secx * secx * tanx) = 2sec^2x + 2xsec^2xtanx.
Turunan dari 2sin2x adalah 4cos2x.
Jadi, limitnya menjadi:
lim x->0 (2sec^2x + 2xsec^2xtanx) / (4cos2x)
Sekarang substitusikan x=0:
= (2sec^2(0) + 2*0*sec^2(0)tan(0)) / (4cos(0))
= (2*1^2 + 0) / (4*1)
= 2/4
= 1/2