lim x -> a (1-cos(x-a))/((x-a).sin3(x-a))=...

1/6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit: lim x -> a (1-cos(x-a))/((x-a).sin3(x-a))
Kita bisa menggunakan substitusi u = x - a. Ketika x mendekati a, maka u mendekati 0.
Limitnya menjadi: lim u -> 0 (1-cos(u))/(u.sin(3u))

Kita tahu bahwa 1 - cos(u) = 2sin^2(u/2).
Jadi, limitnya adalah: lim u -> 0 (2sin^2(u/2))/(u.sin(3u))

Kita juga tahu bahwa untuk nilai u yang mendekati 0, sin(u) ≈ u.
Jadi, sin^2(u/2) ≈ (u/2)^2 = u^2/4, dan sin(3u) ≈ 3u.

Mengganti ini ke dalam limit:
lim u -> 0 (2 * (u^2/4)) / (u * 3u)
lim u -> 0 (u^2/2) / (3u^2)
lim u -> 0 (1/2) / 3
lim u -> 0 1/6

Alternatif lain, kita bisa menggunakan L'Hopital's Rule karena bentuk limitnya adalah 0/0.
Turunan dari pembilang (1 - cos(u)) adalah sin(u).
Turunan dari penyebut (u.sin(3u)) menggunakan aturan perkalian: (1 * sin(3u)) + (u * cos(3u) * 3) = sin(3u) + 3u cos(3u).

Limitnya menjadi: lim u -> 0 sin(u) / (sin(3u) + 3u cos(3u))
Substitusikan u = 0:
sin(0) / (sin(0) + 3*0*cos(0))
0 / (0 + 0)
Ini masih 0/0, jadi kita gunakan L'Hopital's Rule lagi.

Turunan pembilang (sin(u)) adalah cos(u).
Turunan penyebut (sin(3u) + 3u cos(3u)) adalah 3cos(3u) + (3cos(3u) + 3u * (-sin(3u) * 3))
= 3cos(3u) + 3cos(3u) - 9u sin(3u)
= 6cos(3u) - 9u sin(3u)

Limitnya menjadi: lim u -> 0 cos(u) / (6cos(3u) - 9u sin(3u))
Substitusikan u = 0:
cos(0) / (6cos(0) - 9*0*sin(0))
1 / (6*1 - 0)
1/6

Jadi, nilai limitnya adalah 1/6.