Kelas 11Kelas 12mathKalkulus
lim x -> a (1-cos(x-a))/((x-a).sin3(x-a))=...
Pertanyaan
lim x -> a (1-cos(x-a))/((x-a).sin3(x-a))=...
Solusi
Verified
1/6
Pembahasan
Untuk menyelesaikan limit: lim x -> a (1-cos(x-a))/((x-a).sin3(x-a)) Kita bisa menggunakan substitusi u = x - a. Ketika x mendekati a, maka u mendekati 0. Limitnya menjadi: lim u -> 0 (1-cos(u))/(u.sin(3u)) Kita tahu bahwa 1 - cos(u) = 2sin^2(u/2). Jadi, limitnya adalah: lim u -> 0 (2sin^2(u/2))/(u.sin(3u)) Kita juga tahu bahwa untuk nilai u yang mendekati 0, sin(u) ≈ u. Jadi, sin^2(u/2) ≈ (u/2)^2 = u^2/4, dan sin(3u) ≈ 3u. Mengganti ini ke dalam limit: lim u -> 0 (2 * (u^2/4)) / (u * 3u) lim u -> 0 (u^2/2) / (3u^2) lim u -> 0 (1/2) / 3 lim u -> 0 1/6 Alternatif lain, kita bisa menggunakan L'Hopital's Rule karena bentuk limitnya adalah 0/0. Turunan dari pembilang (1 - cos(u)) adalah sin(u). Turunan dari penyebut (u.sin(3u)) menggunakan aturan perkalian: (1 * sin(3u)) + (u * cos(3u) * 3) = sin(3u) + 3u cos(3u). Limitnya menjadi: lim u -> 0 sin(u) / (sin(3u) + 3u cos(3u)) Substitusikan u = 0: sin(0) / (sin(0) + 3*0*cos(0)) 0 / (0 + 0) Ini masih 0/0, jadi kita gunakan L'Hopital's Rule lagi. Turunan pembilang (sin(u)) adalah cos(u). Turunan penyebut (sin(3u) + 3u cos(3u)) adalah 3cos(3u) + (3cos(3u) + 3u * (-sin(3u) * 3)) = 3cos(3u) + 3cos(3u) - 9u sin(3u) = 6cos(3u) - 9u sin(3u) Limitnya menjadi: lim u -> 0 cos(u) / (6cos(3u) - 9u sin(3u)) Substitusikan u = 0: cos(0) / (6cos(0) - 9*0*sin(0)) 1 / (6*1 - 0) 1/6 Jadi, nilai limitnya adalah 1/6.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?