Tentukan bayangan garis x-4y+2=0 oleh transformasi (x, y)

17x - 18y + 28 = 0

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan garis x - 4y + 2 = 0 oleh transformasi linear yang diberikan, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  Nyatakan transformasi dalam bentuk matriks:
    Diberikan transformasi (x, y) -> (x', y') dengan:
x' = 4x + 2y
y' = 3x + 5y
    Dalam bentuk matriks:
    [x'] = [4  2] [x]
    [y']   [3  5] [y]
    Misalkan T adalah matriks transformasi, maka T = [[4, 2], [3, 5]].

2.  Cari matriks invers dari matriks transformasi (T⁻¹):
    Determinan dari T (det(T)) = (4 * 5) - (2 * 3) = 20 - 6 = 14.
    Matriks invers T⁻¹ = (1/det(T)) * [[5, -2], [-3, 4]]
    T⁻¹ = (1/14) * [[5, -2], [-3, 4]]
    T⁻¹ = [[5/14, -2/14], [-3/14, 4/14]]
    T⁻¹ = [[5/14, -1/7], [-3/14, 2/7]]

3.  Nyatakan [x, y] dalam bentuk [x', y'] menggunakan matriks invers:
    [x] = T⁻¹ [x']
    [y]       [y']
    [x] = [5/14  -1/7] [x']
    [y]   [-3/14  2/7] [y']

    Maka kita dapatkan:
x = (5/14)x' - (1/7)y' = (5x' - 2y') / 14
y = (-3/14)x' + (2/7)y' = (-3x' + 4y') / 14

4.  Substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan garis asli:
    Persamaan garis asli: x - 4y + 2 = 0
    Substitusikan x dan y:
    [(5x' - 2y') / 14] - 4 * [(-3x' + 4y') / 14] + 2 = 0

5.  Sederhanakan persamaan:
    Kalikan seluruh persamaan dengan 14 untuk menghilangkan penyebut:
    (5x' - 2y') - 4(-3x' + 4y') + 2 * 14 = 0
    5x' - 2y' + 12x' - 16y' + 28 = 0

6.  Gabungkan suku-suku yang sejenis:
    (5x' + 12x') + (-2y' - 16y') + 28 = 0
    17x' - 18y' + 28 = 0

7.  Tulis kembali persamaan dalam bentuk standar (tanpa aksen pada variabel):
    17x - 18y + 28 = 0

Jadi, bayangan garis x - 4y + 2 = 0 oleh transformasi tersebut adalah 17x - 18y + 28 = 0.