lim x mendekati tak hingga(akar(4x+2)-akar(4x))(akar(x+1))=

1/2

Pembahasan

Untuk menghitung \lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x+2} - \sqrt{4x})(\sqrt{x+1}), kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut.

Pertama, mari kita rasionalkan bagian pertama dari ekspresi: (\sqrt{4x+2} - \sqrt{4x}).
Kalikan dengan konjugatnya, (\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x}), baik di pembilang maupun penyebut:
\frac{(\sqrt{4x+2} - \sqrt{4x})(\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x})}{\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x}}
= \frac{(4x+2) - 4x}{\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x}}
= \frac{2}{\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x}}

Sekarang, kalikan hasil ini dengan bagian kedua dari ekspresi awal, yaitu (\sqrt{x+1}):
\frac{2}{\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x}} \times \sqrt{x+1}
= \frac{2\sqrt{x+1}}{\sqrt{4x+2} + \sqrt{4x}}

Untuk mencari limit ketika x mendekati tak hingga, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu \sqrt{x} (atau x^{1/2}).
Dalam penyebut, kita punya \sqrt{4x+2} = \sqrt{x(4+2/x)} = \sqrt{x}\sqrt{4+2/x} dan \sqrt{4x} = \sqrt{x}\sqrt{4}.
Dalam pembilang, kita punya \sqrt{x+1} = \sqrt{x(1+1/x)} = \sqrt{x}\sqrt{1+1/x}.

Maka ekspresinya menjadi:
\lim_{x \to \infty} \frac{2\sqrt{x}\sqrt{1+1/x}}{\sqrt{x}\sqrt{4+2/x} + \sqrt{x}\sqrt{4}}
Kita bisa memfaktorkan \sqrt{x} dari penyebut:
\lim_{x \to \infty} rac{2\sqrt{x}\\(1+1/x)}{\\(4+2/x) + \sqrt{4}}
Kita bisa membatalkan \sqrt{x} dari pembilang dan penyebut:
\lim_{x \to \infty} rac{2\sqrt{1+1/x}}{\sqrt{4+2/x} + \sqrt{4}}

Sekarang, kita evaluasi limit ketika x mendekati tak hingga. Ingat bahwa ketika x \to \infty, 1/x \to 0 dan 2/x \to 0.
= rac{2\sqrt{1+0}}{\sqrt{4+0} + \sqrt{4}}
= rac{2\sqrt{1}}{\sqrt{4} + \sqrt{4}}
= rac{2 	imes 1}{2 + 2}
= rac{2}{4}
= rac{1}{2}

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah 1/2.