lim x mendekati tak hingga (akar(x^2 + 5x) - akar(x^2 - 2x

-7/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan teknik manipulasi aljabar dan konjugat.

Limit yang diberikan adalah:
lim x→∞ (√(x² + 5x) - √(x² - 2x + 1)) / (x - √(x² + 2x))

Kita akan menganalisis pembilang dan penyebut secara terpisah.

Pembilang: √(x² + 5x) - √(x² - 2x + 1)
Kalikan dengan konjugatnya:
(√(x² + 5x) - √(x² - 2x + 1)) * (√(x² + 5x) + √(x² - 2x + 1)) / (√(x² + 5x) + √(x² - 2x + 1))
= ((x² + 5x) - (x² - 2x + 1)) / (√(x² + 5x) + √(x² - 2x + 1))
= (x² + 5x - x² + 2x - 1) / (√(x² + 5x) + √(x² - 2x + 1))
= (7x - 1) / (√(x² + 5x) + √(x² - 2x + 1))

Penyebut: x - √(x² + 2x)
Kalikan dengan konjugatnya:
(x - √(x² + 2x)) * (x + √(x² + 2x)) / (x + √(x² + 2x))
= (x² - (x² + 2x)) / (x + √(x² + 2x))
= (x² - x² - 2x) / (x + √(x² + 2x))
= -2x / (x + √(x² + 2x))

Sekarang, gabungkan kembali pembilang dan penyebut yang sudah dikonjugasikan:
Limit = lim x→∞ [(7x - 1) / (√(x² + 5x) + √(x² - 2x + 1))] / [-2x / (x + √(x² + 2x))]
Limit = lim x→∞ [(7x - 1) * (x + √(x² + 2x))] / [(-2x) * (√(x² + 5x) + √(x² - 2x + 1))]

Untuk x → ∞, kita bisa membagi setiap suku dengan x (atau x² di bawah akar) untuk menyederhanakan:

Dari pembilang (7x - 1) * (x + √(x² + 2x)):
Dalam kurung pertama: 7x - 1 ≈ 7x
Dalam kurung kedua: x + √(x² + 2x) = x + √(x²(1 + 2/x)) = x + x√(1 + 2/x) ≈ x + x = 2x
Jadi, pembilang ≈ (7x) * (2x) = 14x²

Dari penyebut (-2x) * (√(x² + 5x) + √(x² - 2x + 1)):
Dalam kurung pertama: -2x
Dalam kurung kedua: √(x² + 5x) + √(x² - 2x + 1) = √(x²(1 + 5/x)) + √(x²(1 - 2/x + 1/x²)) ≈ x + x = 2x
Jadi, penyebut ≈ (-2x) * (2x) = -4x²

Sekarang hitung limit dari perbandingan suku-suku dengan pangkat tertinggi:
Limit ≈ lim x→∞ (14x²) / (-4x²)
Limit ≈ 14 / -4
Limit ≈ -7/2

Secara formal, bagi pembilang dan penyebut dengan x:
Pembilang: (7x - 1) * (x + x√(1 + 2/x)) = (7x - 1) * x * (1 + √(1 + 2/x))
Bagilah dengan x: (7 - 1/x) * (1 + √(1 + 2/x))
Ketika x → ∞, ini menjadi (7 - 0) * (1 + √(1 + 0)) = 7 * (1 + 1) = 7 * 2 = 14.

Penyebut: (-2x) * (x√(1 + 5/x) + x√(1 - 2/x + 1/x²))
Bagilah dengan x: (-2) * (√(1 + 5/x) + √(1 - 2/x + 1/x²))
Ketika x → ∞, ini menjadi (-2) * (√(1 + 0) + √(1 - 0 + 0)) = -2 * (1 + 1) = -2 * 2 = -4.

Jadi, limitnya adalah 14 / -4 = -7/2.