lim x-> pi/4 (cos^2 x)/(1-sin x)

1 + sqrt(2)/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan penyederhanaan:
lim x-> pi/4 (cos^2 x)/(1-sin x)

Saat x mendekati pi/4, cos(x) mendekati cos(pi/4) = sqrt(2)/2 dan sin(x) mendekati sin(pi/4) = sqrt(2)/2.
Jika kita substitusikan langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 atau bentuk lain yang tidak langsung memberikan hasil.

Mari kita gunakan identitas trigonometri cos^2 x = 1 - sin^2 x:
lim x-> pi/4 (1 - sin^2 x)/(1-sin x)

Kita bisa memfaktorkan pembilang sebagai selisih dua kuadrat (a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)), di mana a = 1 dan b = sin x:
lim x-> pi/4 ((1 - sin x)(1 + sin x))/(1-sin x)

Karena x mendekati pi/4, sin x tidak sama dengan 1, sehingga (1 - sin x) tidak sama dengan 0. Kita bisa membatalkan faktor (1 - sin x) dari pembilang dan penyebut:
lim x-> pi/4 (1 + sin x)

Sekarang kita bisa substitusikan nilai x = pi/4:
1 + sin(pi/4) = 1 + (sqrt(2)/2)

Jadi, hasil limitnya adalah 1 + sqrt(2)/2.