lim x-> tak hingga (4x^2 tan(1/x)-xsin(1/x)+1/x)/xcos(2/x)

4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 \tan(1/x) - x\sin(1/x) + 1/x}{x\cos(2/x)}$, kita dapat menggunakan substitusi $t = 1/x$. Ketika $x \to \infty$, maka $t \to 0$. Persamaan limit menjadi:

$\lim_{t \to 0} \frac{4(1/t)^2 \tan(t) - (1/t)\sin(t) + t}{(1/t)\cos(2t)}$

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $t^2$ untuk menyederhanakan:

$\lim_{t \to 0} \frac{4 \tan(t) - t\sin(t) + t^2}{t\cos(2t)}$

Gunakan ekspansi deret Taylor untuk fungsi trigonometri di sekitar $t=0$:
$\\tan(t) \approx t + \frac{t^3}{3}$
$\\sin(t) \approx t - \frac{t^3}{6}$
$\\cos(2t) \approx 1 - \frac{(2t)^2}{2} = 1 - 2t^2$

Substitusikan ekspansi ini ke dalam limit:

$\lim_{t \to 0} \frac{4(t + t^3/3) - t(t - t^3/6) + t^2}{t(1 - 2t^2)}$

$\lim_{t \to 0} \frac{4t + 4t^3/3 - t^2 + t^4/6 + t^2}{t - 2t^3}$

Sederhanakan pembilang:

$\lim_{t \to 0} \frac{4t + 4t^3/3 + t^4/6}{t - 2t^3}$

Bagi pembilang dan penyebut dengan $t$ (karena $t \to 0$ tetapi $t \neq 0$):

$\lim_{t \to 0} \frac{4 + 4t^2/3 + t^3/6}{1 - 2t^2}$

Sekarang, substitusikan $t=0$:

$\frac{4 + 0 + 0}{1 - 0} = 4$

Jadi, hasil limitnya adalah 4.