Diketahui sebuah data terdiri dari n bilangan asli yang

n=29

Pembahasan

Misalkan data asli adalah $1, 2, 3, ..., n$. Jumlah data asli adalah $\frac{n(n+1)}{2}$.
Misalkan bilangan yang dihapus adalah $k$, di mana $1 \le k \le n$.
Jumlah data yang tersisa adalah $\frac{n(n+1)}{2} - k$.
Jumlah data yang tersisa adalah $n-1$.
Rata-rata data yang tersisa adalah $\frac{\frac{n(n+1)}{2} - k}{n-1} = \frac{61}{4}$.
$4(\frac{n(n+1)}{2} - k) = 61(n-1)$
$2n(n+1) - 4k = 61n - 61$
$2n^2 + 2n - 4k = 61n - 61$
$2n^2 - 59n + 61 = 4k$
Karena $1 \le k \le n$, maka $4 \le 4k \le 4n$.
$4 \le 2n^2 - 59n + 61 \le 4n$
Kita ambil pertidaksamaan pertama: $4 \le 2n^2 - 59n + 61$
$0 \le 2n^2 - 59n + 57$
Untuk mencari akar dari $2n^2 - 59n + 57 = 0$, kita gunakan rumus kuadratik:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{59 \pm \sqrt{(-59)^2 - 4(2)(57)}}{2(2)} = \frac{59 \pm \sqrt{3481 - 456}}{4} = \frac{59 \pm \sqrt{3025}}{4} = \frac{59 \pm 55}{4}$
$n_1 = \frac{59+55}{4} = \frac{114}{4} = 28.5$
$n_2 = \frac{59-55}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Karena $n$ adalah bilangan asli, kita perlu mempertimbangkan $n ", n_1 = 28.5$ dan $n_2 = 1$.
Jika $n=1$, maka data asli hanya terdiri dari 1 bilangan, yaitu 1. Jika data dihapus, tidak ada data yang tersisa, sehingga rata-rata tidak terdefinisi. Jadi $n \neq 1$.
Untuk pertidaksamaan $2n^2 - 59n + 57 \ge 0$, solusinya adalah $n \ge 28.5$ atau $n \le 1$. Mengingat $n$ adalah bilangan asli dan $n>1$, maka $n \ge 29$.
Sekarang kita ambil pertidaksamaan kedua: $2n^2 - 59n + 61 \le 4n$
$2n^2 - 63n + 61 \le 0$
Untuk mencari akar dari $2n^2 - 63n + 61 = 0$, kita gunakan rumus kuadratik:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{63 \pm \sqrt{(-63)^2 - 4(2)(61)}}{2(2)} = \frac{63 \pm \sqrt{3969 - 488}}{4} = \frac{63 \pm \sqrt{3481}}{4} = \frac{63 \pm 59}{4}$
$n_3 = \frac{63+59}{4} = \frac{122}{4} = 30.5$
$n_4 = \frac{63-59}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Untuk pertidaksamaan $2n^2 - 63n + 61 \le 0$, solusinya adalah $1 \le n \le 30.5$.
Kita memiliki dua kondisi: $n \ge 29$ dan $1 \le n \le 30.5$.
Irisan dari kedua kondisi ini adalah $29 \le n \le 30.5$.
Karena $n$ harus bilangan asli, maka $n$ bisa 29 atau 30.
Jika $n=29$, maka $4k = 2(29)^2 - 59(29) + 61 = 2(841) - 1711 + 61 = 1682 - 1711 + 61 = 32$. Maka $k=8$. Karena $1 ", 8 \le 29$, ini valid.
Jika $n=30$, maka $4k = 2(30)^2 - 59(30) + 61 = 2(900) - 1770 + 61 = 1800 - 1770 + 61 = 91$. Karena 91 tidak habis dibagi 4, maka $n=30$ tidak mungkin.
Jadi, nilai $n$ yang memenuhi adalah 29.