lim x-> tak hingga ((7-x^2)+(4x^2-3))/((2x^2-7)(5+x^2))

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari \(\lim_{x 	o \infty} \frac{(7-x^2)+(4x^2-3)}{(2x^2-7)(5+x^2)}\), kita perlu menyederhanakan ekspresi polinomial di pembilang dan penyebut terlebih dahulu, lalu menentukan suku dengan pangkat tertinggi.

Sederhanakan pembilang:
\((7-x^2)+(4x^2-3) = 7 - x^2 + 4x^2 - 3 = 3x^2 + 4\)

Sederhanakan penyebut:
\((2x^2-7)(5+x^2) = (2x^2)(5) + (2x^2)(x^2) + (-7)(5) + (-7)(x^2)\)
\(= 10x^2 + 2x^4 - 35 - 7x^2\)
\(= 2x^4 + 3x^2 - 35\)

Sekarang, limitnya menjadi:
\(\lim_{x 	o \infty} rac{3x^2 + 4}{2x^4 + 3x^2 - 35}\)

Untuk limit fungsi rasional ketika \(x\) mendekati tak hingga, kita perhatikan suku dengan pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut. Di pembilang, suku dengan pangkat tertinggi adalah \(3x^2\). Di penyebut, suku dengan pangkat tertinggi adalah \(2x^4\).

Karena pangkat tertinggi di penyebut (4) lebih besar daripada pangkat tertinggi di pembilang (2), maka nilai limitnya adalah 0.

Cara lain adalah dengan membagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu \(x^4\):
\(\lim_{x 	o \infty} rac{rac{3x^2}{x^4} + rac{4}{x^4}}{rac{2x^4}{x^4} + rac{3x^2}{x^4} - rac{35}{x^4}}\)
\(\lim_{x 	o \infty} rac{rac{3}{x^2} + rac{4}{x^4}}{2 + rac{3}{x^2} - rac{35}{x^4}}\)

Ketika \(x \to \infty\), suku-suku yang memiliki \(x\) di penyebut akan mendekati 0:
\(rac{0 + 0}{2 + 0 - 0} = rac{0}{2} = 0\)

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 0.