buktikan identitas yang diberikan! Persamaan gerak partikel

Ya, s(t) = 4 sin(t - π/6) adalah gerak harmonis sederhana karena percepatannya, a(t) = -4 sin(t - π/6), berbanding lurus dengan posisi s(t) dan berlawanan arah (a(t) = -s(t)).

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa s(t) = 4 sin(t - π/6) adalah gerak harmonis sederhana (GHS), kita perlu menunjukkan bahwa persamaan ini memenuhi bentuk umum GHS, yaitu persamaan diferensial orde kedua: d²s/dt² = -ω²s, di mana ω adalah frekuensi sudut.

Persamaan posisi yang diberikan adalah:
s(t) = 4 sin(t - π/6)

Langkah 1: Cari turunan pertama terhadap waktu (kecepatan).
Kecepatan, v(t) = ds/dt
v(t) = d/dt [4 sin(t - π/6)]
Menggunakan aturan rantai, turunan dari sin(u) adalah cos(u) * du/dt, di mana u = t - π/6 dan du/dt = 1.
Jadi, v(t) = 4 cos(t - π/6) * 1
v(t) = 4 cos(t - π/6)

Langkah 2: Cari turunan kedua terhadap waktu (percepatan).
Percepatan, a(t) = dv/dt = d²s/dt²
a(t) = d/dt [4 cos(t - π/6)]
Menggunakan aturan rantai, turunan dari cos(u) adalah -sin(u) * du/dt, di mana u = t - π/6 dan du/dt = 1.
Jadi, a(t) = 4 [-sin(t - π/6)] * 1
a(t) = -4 sin(t - π/6)

Langkah 3: Bandingkan percepatan dengan persamaan posisi.
Kita punya a(t) = -4 sin(t - π/6).
Perhatikan bahwa s(t) = 4 sin(t - π/6).
Jadi, kita bisa menulis ulang a(t) sebagai:
a(t) = - [4 sin(t - π/6)]
a(t) = - s(t)

Ini berarti d²s/dt² = -s(t).

Bentuk umum GHS adalah d²s/dt² = -ω²s. Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa ω² = 1, sehingga ω = 1 radian/detik.

Karena persamaan posisi s(t) = 4 sin(t - π/6) dapat diturunkan dua kali terhadap waktu dan menghasilkan percepatan yang berbanding lurus dengan posisi dan berlawanan arah (a(t) = -s(t)), maka persamaan ini terbukti merupakan gerak harmonis sederhana.