lim x -> tak hingga(akar (2x-1)-akar(x-1)=...

Tak hingga (∞)

Pembahasan

Kita perlu mencari nilai dari $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-1} - \sqrt{x-1})$.
Bentuk limit ini adalah $\infty - \infty$, yang merupakan bentuk tak tentu. Untuk menyelesaikannya, kita kalikan dengan bentuk konjugatnya:

$$ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x-1} - \sqrt{x-1}) \times \frac{\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-1}} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{(2x-1) - (x-1)}{\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-1}} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{2x-1 - x+1}{\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-1}} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{2x-1} + \sqrt{x-1}} $$ 

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bagi pembilang dan penyebut dengan suku dengan pangkat tertinggi di penyebut, yaitu $\sqrt{x}$ (atau $x$ jika dikuadratkan):

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{2x-1}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\frac{2x-1}{x}} + \sqrt{\frac{x-1}{x}}} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}} $$ 

Ketika $x \to \infty$, $\frac{1}{x} \to 0$. Jadi, limitnya menjadi:

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2-0} + \sqrt{1-0}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2} + 1} $$ 

Karena $\sqrt{x} \to \infty$ saat $x \to \infty$, dan penyebutnya adalah konstanta positif, maka limitnya adalah tak hingga.

$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{2x-1} - \sqrt{x-1}) = \infty$