Budi membeli kawat sepanjang 360 cm . Kawat itu akan dibuat

Panjang sisi alas prisma adalah 80 cm dan tinggi prisma adalah 40 cm.

Pembahasan

Misalkan panjang sisi alas segitiga sama sisi adalah $a$ dan tinggi prisma adalah $t$. Keliling alas prisma adalah $3a$ dan panjang kawat yang digunakan untuk kerangka prisma adalah $3a + 3t$. Diketahui panjang kawat adalah 360 cm, sehingga $3a + 3t = 360$, atau $a + t = 120$, yang berarti $t = 120 - a$.

Volume prisma tegak dengan alas segitiga sama sisi adalah $V = \text{Luas Alas} \times \text{Tinggi}$. Luas alas segitiga sama sisi adalah $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$. Jadi, volume prisma adalah $V(a) = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 t = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2(120 - a) = \frac{\sqrt{3}}{4}(120a^2 - a^3)$.

Untuk mencari nilai $a$ agar volume maksimum, kita turunkan $V(a)$ terhadap $a$ dan samakan dengan nol:
$V'(a) = \frac{\sqrt{3}}{4}(240a - 3a^2) = 0$
$240a - 3a^2 = 0$
$3a(80 - a) = 0$
Karena $a$ tidak mungkin 0, maka $a = 80$ cm.

Selanjutnya, kita cari tinggi prisma: $t = 120 - a = 120 - 80 = 40$ cm.

Untuk memastikan volume maksimum, kita periksa turunan kedua:
$V"(a) = \frac{\sqrt{3}}{4}(240 - 6a)$.
$V"(80) = \frac{\sqrt{3}}{4}(240 - 6 \times 80) = \frac{\sqrt{3}}{4}(240 - 480) = -60\sqrt{3} < 0$. Karena turunan kedua negatif, maka volume maksimum tercapai saat $a=80$ cm dan $t=40$ cm.