lim x->tak hingga (akar(2x^2+5x+8)-akar(2x^2+2x-1))=

3√2 / 4

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari limit:
lim x->tak hingga (√(2x^2+5x+8) - √(2x^2+2x-1))
Kita dapat mengalikan dengan bentuk sekawan dari ekspresi tersebut untuk menghilangkan akar pada pembilang.

Bentuk sekawan dari (√(2x^2+5x+8) - √(2x^2+2x-1)) adalah (√(2x^2+5x+8) + √(2x^2+2x-1)).

lim x->tak hingga [(√(2x^2+5x+8) - √(2x^2+2x-1)) * (√(2x^2+5x+8) + √(2x^2+2x-1))] / (√(2x^2+5x+8) + √(2x^2+2x-1))

= lim x->tak hingga [(2x^2+5x+8) - (2x^2+2x-1)] / (√(2x^2+5x+8) + √(2x^2+2x-1))

= lim x->tak hingga [2x^2+5x+8 - 2x^2-2x+1] / (√(2x^2+5x+8) + √(2x^2+2x-1))

= lim x->tak hingga [3x+9] / (√(2x^2+5x+8) + √(2x^2+2x-1))

Selanjutnya, bagi pembilang dan penyebut dengan x (karena kita mencari limit saat x mendekati tak hingga, kita fokus pada suku dengan pangkat tertinggi). Ingat bahwa √(x^2) = |x|, dan karena x mendekati tak hingga, x positif, sehingga |x| = x.

= lim x->tak hingga [3x/x + 9/x] / (√(2x^2/x^2 + 5x/x^2 + 8/x^2) + √(2x^2/x^2 + 2x/x^2 - 1/x^2))

= lim x->tak hingga [3 + 9/x] / (√(2 + 5/x + 8/x^2) + √(2 + 2/x - 1/x^2))

Sekarang, substitusikan x -> tak hingga. Suku-suku yang memiliki x di penyebut akan menjadi 0.

= [3 + 0] / (√(2 + 0 + 0) + √(2 + 0 - 0))

= 3 / (√2 + √2)

= 3 / (2√2)

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan √2:

= (3 * √2) / (2√2 * √2)

= 3√2 / (2 * 2)

= 3√2 / 4