lim x->tak hingga(x+1-akar(x^2-4x+3))=...

Nilai limit adalah 3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \infty} (x+1 - \sqrt{x^2 - 4x + 3})$, kita dapat menggunakan metode mengalikan dengan bentuk sekawan.

Bentuk sekawan dari $(x+1 - \sqrt{x^2 - 4x + 3})$ adalah $(x+1 + \sqrt{x^2 - 4x + 3})$.

Kalikan ekspresi dengan sekawannya:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{(x+1 - \sqrt{x^2 - 4x + 3})(x+1 + \sqrt{x^2 - 4x + 3})}{(x+1 + \sqrt{x^2 - 4x + 3})} $$ 

Gunakan identitas $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ di pembilang, dengan $a = (x+1)$ dan $b = \sqrt{x^2 - 4x + 3}$:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{(x+1)^2 - (x^2 - 4x + 3)}{(x+1 + \sqrt{x^2 - 4x + 3})} $$ 

Jabarkan $(x+1)^2$ di pembilang:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 4x + 3)}{(x+1 + \sqrt{x^2 - 4x + 3})} $$ 

Sederhanakan pembilang:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 1 - x^2 + 4x - 3}{(x+1 + \sqrt{x^2 - 4x + 3})} $$ 
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{6x - 2}{(x+1 + \sqrt{x^2 - 4x + 3})} $$ 

Untuk $x \to \infty$, kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari $x$ di penyebut, yaitu $x$. Di dalam akar, kita membagi dengan $x^2$.

Bagi pembilang dengan $x$:
$$ \frac{6x - 2}{x} = 6 - \frac{2}{x} $$ 

Bagi penyebut dengan $x$:
$$ \frac{x+1 + \sqrt{x^2 - 4x + 3}}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}{\sqrt{x^2}} $$ 
$$ = 1 + \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{x^2 - 4x + 3}{x^2}} $$ 
$$ = 1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} $$ 

Sekarang, substitusikan kembali ke dalam limit:
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}} $$ 

Ketika $x \to \infty$, suku-suku seperti $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x}$, $\frac{4}{x}$, dan $\frac{3}{x^2}$ akan mendekati 0.

$$ \frac{6 - 0}{1 + 0 + \sqrt{1 - 0 + 0}} = \frac{6}{1 + \sqrt{1}} = \frac{6}{1 + 1} = \frac{6}{2} = 3 $$ 

Jadi, nilai limitnya adalah 3.