Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
lim x->tak hingga x cot(1/x) sin(1/x^2)= ...
Pertanyaan
lim x->tak hingga x cot(1/x) sin(1/x^2)= ...
Solusi
Verified
1.
Pembahasan
Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \infty} x \cot(\frac{1}{x}) \sin(\frac{1}{x^2})$, kita dapat menggunakan substitusi dan ekspansi deret Taylor. Misalkan $y = \frac{1}{x}$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Persamaan menjadi: $\lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \cot(y) \sin(y^2)$ Kita tahu bahwa $\cot(y) = \frac{\cos(y)}{\sin(y)}$ dan untuk $y$ yang mendekati 0, $\sin(y) \approx y$ dan $\cos(y) \approx 1$. Juga, untuk $y^2$ yang mendekati 0, $\sin(y^2) \approx y^2$. Mengganti ini ke dalam limit: $\lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \frac{\cos(y)}{\sin(y)} \sin(y^2)$ $\lim_{y \to 0} \frac{\cos(y)}{y \sin(y)} \sin(y^2)$ Gunakan aproksimasi $\sin(y) \approx y$ dan $\sin(y^2) \approx y^2$: $\lim_{y \to 0} \frac{1}{y \cdot y} y^2$ $\lim_{y \to 0} \frac{y^2}{y^2}$ $\lim_{y \to 0} 1$ Nilai limitnya adalah 1. Jadi, $\lim_{x \to \infty} x \cot(\frac{1}{x}) \sin(\frac{1}{x^2}) = 1$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Di Ketakhinggaan, Aproksimasi Limit
Apakah jawaban ini membantu?