lim x->tak hingga x cot(1/x) sin(1/x^2)= ...

1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \infty} x \cot(\frac{1}{x}) \sin(\frac{1}{x^2})$, kita dapat menggunakan substitusi dan ekspansi deret Taylor.

Misalkan $y = \frac{1}{x}$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$.
Persamaan menjadi: $\lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \cot(y) \sin(y^2)$

Kita tahu bahwa $\cot(y) = \frac{\cos(y)}{\sin(y)}$ dan untuk $y$ yang mendekati 0, $\sin(y) \approx y$ dan $\cos(y) \approx 1$.
Juga, untuk $y^2$ yang mendekati 0, $\sin(y^2) \approx y^2$.

Mengganti ini ke dalam limit:
$\lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \frac{\cos(y)}{\sin(y)} \sin(y^2)$
$\lim_{y \to 0} \frac{\cos(y)}{y \sin(y)} \sin(y^2)$

Gunakan aproksimasi $\sin(y) \approx y$ dan $\sin(y^2) \approx y^2$:
$\lim_{y \to 0} \frac{1}{y \cdot y} y^2$
$\lim_{y \to 0} \frac{y^2}{y^2}$
$\lim_{y \to 0} 1$

Nilai limitnya adalah 1.

Jadi, $\lim_{x \to \infty} x \cot(\frac{1}{x}) \sin(\frac{1}{x^2}) = 1$.