limit x->0 (1-akar(1-x))/(sin 6x)

1/12

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x->0 (1 - √(1 - x)) / (sin 6x), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim (f(x)/g(x)) saat x->c menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim (f'(x)/g'(x)) saat x->c.

Misalkan f(x) = 1 - √(1 - x) dan g(x) = sin 6x.

Turunan dari f(x) adalah:
f'(x) = d/dx (1 - (1 - x)^(1/2))
= 0 - (1/2)(1 - x)^(-1/2) * (-1)
= (1/2)(1 - x)^(-1/2)
= 1 / (2√(1 - x))

Turunan dari g(x) adalah:
g'(x) = d/dx (sin 6x)
= cos 6x * 6
= 6 cos 6x

Sekarang, kita hitung limit dari f'(x)/g'(x) saat x->0:
lim (x->0) [1 / (2√(1 - x))] / (6 cos 6x)
= lim (x->0) [1 / (2√(1 - x)) * 1 / (6 cos 6x)]
= lim (x->0) 1 / (12 √(1 - x) cos 6x)

Substitusikan x = 0:
= 1 / (12 √(1 - 0) cos(6 * 0))
= 1 / (12 * √1 * cos 0)
= 1 / (12 * 1 * 1)
= 1/12