limit x -> 0 ((1-cos^2(x))-(cos xsin(x^2))/(x^4))=....

\(-\infty\)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Limit yang diberikan adalah: \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos^2(x))-\frac{\cos(x)\sin(x^2)}{x^4}}{1}

Kita tahu bahwa \(1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)\).
Jadi, limitnya menjadi: \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x) - \frac{\cos(x)\sin(x^2)}{x^4}}{1}

Sekarang, mari kita analisis bagian kedua dari ekspresi: \(\frac{\cos(x)\sin(x^2)}{x^4}\).
Untuk \(x \to 0\), \(\cos(x) \to 1\).
Kita juga tahu bahwa untuk \(x \to 0\), \(\sin(x) \approx x\). Oleh karena itu, \(\sin(x^2) \approx x^2\).
Jadi, \(\frac{\cos(x)\sin(x^2)}{x^4} \approx \frac{1 \cdot x^2}{x^4} = \frac{x^2}{x^4} = \frac{1}{x^2}\).

Dengan substitusi ini, limitnya menjadi: \lim_{x \to 0} (\sin^2(x) - \frac{1}{x^2})

Ketika \(x \to 0\), \(\sin^2(x) \to 0\).
Namun, \(\frac{1}{x^2} \to \infty\).
Jadi, \(0 - \infty = -\infty\).

Mari kita periksa kembali apakah ada kesalahan dalam interpretasi soal atau perhitungan. Perhatikan bahwa soal tersebut mungkin dimaksudkan untuk disederhanakan terlebih dahulu atau menggunakan ekspansi Taylor.

Namun, jika kita mengasumsikan ekspresi tersebut persis seperti yang tertulis, maka limitnya adalah \(-\infty\).

Jika soalnya adalah \(\lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x)}{x^2}\) sebagai contoh, hasilnya adalah \(\frac{1}{2}\).

Jika soalnya adalah \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2}\), hasilnya adalah \(1\).

Kembali ke soal asli: \(\lim_{x \to 0} (\sin^2(x) - \frac{\cos(x)\sin(x^2)}{x^4})\).

Mari kita gunakan ekspansi Taylor untuk \(\sin(x^2)\) di sekitar \(x=0\): \(\sin(u) = u - \frac{u^3}{3!} + ...\). Jadi, \(\sin(x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^3}{6} + ... = x^2 - \frac{x^6}{6} + ...\).

Maka, \(\frac{\cos(x)\sin(x^2)}{x^4} = \frac{\cos(x)(x^2 - \frac{x^6}{6} + ...)}{x^4} = \cos(x) (\frac{1}{x^2} - \frac{x^2}{6} + ...)\).

Untuk \(x \to 0\), \(\cos(x) \to 1\). Jadi, \(\frac{\cos(x)\sin(x^2)}{x^4} \approx 1 \cdot (\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}\).

Ekspresi limit menjadi \(\lim_{x \to 0} (\sin^2(x) - \frac{1}{x^2})\).

\(\lim_{x \to 0} \sin^2(x) = 0\).
\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty\).

Jadi, \(\lim_{x \to 0} (0 - \infty) = -\infty\).

Jawaban: \(-\infty\)