limit x -> 0 (3x tan 4x)/(sin^2 5x) adalah...

12/25

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar karena substitusi langsung $x=0$ akan menghasilkan bentuk tak tentu $0/0$.

Metode 1: Aturan L'Hopital
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x\to c} f(x)/g(x)$ menghasilkan bentuk tak tentu $0/0$ atau $\infty/\infty$, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x\to c} f'(x)/g'(x)$, asalkan limit turunan ada.

Dalam kasus ini, $f(x) = 3x 	an(4x)$ dan $g(x) = \sin^2(5x)$.
Saat $x \to 0$, $f(x) \to 3(0) 	an(0) = 0 	imes 0 = 0$.
Saat $x \to 0$, $g(x) \to \sin^2(0) = 0^2 = 0$.
Jadi, kita mendapatkan bentuk tak tentu $0/0$, dan kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital.

Turunan dari $f(x) = 3x 	an(4x)$ menggunakan aturan perkalian (uv)' = u'v + uv':
$f'(x) = (d/dx(3x)) 	an(4x) + 3x (d/dx(	an(4x)))$
$f'(x) = 3 	an(4x) + 3x (\sec^2(4x) 	imes 4)$
$f'(x) = 3 	an(4x) + 12x \sec^2(4x)$

Turunan dari $g(x) = \sin^2(5x)$ menggunakan aturan rantai:
$g'(x) = 2 \sin(5x) 	imes d/dx(\sin(5x))$
$g'(x) = 2 \sin(5x) \times (\cos(5x) 	imes 5)$
$g'(x) = 10 \sin(5x) \cos(5x)$
Kita bisa menggunakan identitas $\sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A)$, jadi $10 \sin(5x) \cos(5x) = 5 \times (2 \sin(5x) \cos(5x)) = 5 \sin(10x)$.
Jadi, $g'(x) = 5 \sin(10x)$.

Sekarang kita hitung limit dari $f'(x)/g'(x)$ saat $x \to 0$:
$\lim_{x\to 0} (3 	an(4x) + 12x \sec^2(4x)) / (5 \sin(10x))$

Saat $x \to 0$, $\tan(4x) \to 0$, $12x 	o 0$, $\sec(4x) \to \sec(0) = 1$, jadi $\sec^2(4x) \to 1$, dan $\sin(10x) \to 0$.
Sekali lagi, kita mendapatkan bentuk $0/0$ di pembilang ($3 	imes 0 + 12 	imes 0 	imes 1^2 = 0$) dan penyebut ($5 	imes 0 = 0$).
Jadi, kita perlu menerapkan Aturan L'Hopital lagi.

Turunan dari $f'(x) = 3 	an(4x) + 12x \sec^2(4x)$:
$f''(x) = d/dx(3 	an(4x)) + d/dx(12x \sec^2(4x))$
$f''(x) = 3 (\sec^2(4x) 	imes 4) + [ (d/dx(12x)) \sec^2(4x) + 12x (d/dx(\sec^2(4x))) ]$
$f''(x) = 12 	an(4x) + [ 12 	imes 

Kita harus menggunakan identitas $\tan x \approx x$ dan $\sin x \approx x$ untuk x kecil, atau $\sin^2 x \approx x^2$ untuk x kecil.

Metode 2: Manipulasi Aljabar
Kita tahu bahwa $\lim_{x\to 0} \frac{\tan(ax)}{ax} = 1$ dan $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(bx)}{bx} = 1$.

Limit = $\lim_{x\to 0} \frac{3x 	an(4x)}{\sin^2(5x)}$
Kita bisa menulis ulang $\tan(4x)$ sebagai $\frac{\sin(4x)}{\cos(4x)}$.
Limit = $\lim_{x\to 0} \frac{3x rac{\sin(4x)}{\cos(4x)}}{\sin^2(5x)}$
Limit = $\lim_{x\to 0} \frac{3x \sin(4x)}{\cos(4x) \sin^2(5x)}$

Sekarang, kita manipulasi agar sesuai dengan bentuk standar:
Limit = $\lim_{x\to 0} \frac{3x}{\cos(4x)} 	imes \frac{\sin(4x)}{1} 	imes \frac{1}{\sin^2(5x)}$
Limit = $\lim_{x\to 0} \frac{3x}{\cos(4x)} 	imes \frac{\sin(4x)}{1} 	imes \frac{1}{(\frac{\sin(5x)}{5x} 	imes 5x)^2}$
Limit = $\lim_{x\to 0} \frac{3x}{\cos(4x)} 	imes \frac{\sin(4x)}{1} 	imes \frac{1}{(\frac{\sin(5x)}{5x})^2 	imes (5x)^2}$

Agar lebih mudah, mari kita kalikan dan bagi dengan term yang sesuai:
Limit = $\lim_{x\to 0} \frac{3x 	an(4x)}{\sin^2(5x)}$
Kita perlu $(4x)$ di penyebut untuk $\tan(4x)$ dan $(5x)^2$ di penyebut untuk $\sin^2(5x)$.
Limit = $\lim_{x\to 0} \frac{3x 	imes (4x) 	imes \frac{\tan(4x)}{4x}}{(5x)^2 	imes \frac{\sin^2(5x)}{(5x)^2}}$
Limit = $\lim_{x\to 0} \frac{3x 	imes 4x}{(5x)^2} 	imes \frac{\frac{\tan(4x)}{4x}}{\frac{\sin^2(5x)}{(5x)^2}}$
Limit = $\lim_{x\to 0} \frac{12x^2}{25x^2} 	imes \frac{\frac{\tan(4x)}{4x}}{(\frac{\sin(5x)}{5x})^2}$

Kita tahu bahwa $\lim_{x\to 0} \frac{\tan(ax)}{ax} = 1$ dan $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(bx)}{bx} = 1$.
Jadi, $\lim_{x\to 0} \frac{\tan(4x)}{4x} = 1$ dan $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} = 1$, sehingga $\lim_{x\to 0} (\frac{\sin(5x)}{5x})^2 = 1^2 = 1$.

Limit = $\frac{12}{25} 	imes \frac{1}{1}$
Limit = $\frac{12}{25}$

Mari kita cek kembali menggunakan L'Hopital.
$f'(x) = 3 	an(4x) + 12x \sec^2(4x)$
$g'(x) = 5 

Kembali ke L'Hopital:
$f'(x) = 3 	an(4x) + 12x 

$f''(x) = 12 

Mari kita gunakan nilai limit $\tan(x) \approx x$ dan $\sin(x) \approx x$ untuk $x$ mendekati 0.
$\tan(4x) \approx 4x$
$\sin(5x) \approx 5x$, sehingga $\sin^2(5x) \approx (5x)^2 = 25x^2$.

Limit $\approx \lim_{x\to 0} \frac{3x (4x)}{25x^2}$
Limit $\approx \lim_{x\to 0} \frac{12x^2}{25x^2}$
Limit $\approx \frac{12}{25}$

Jadi, hasil limitnya adalah 12/25.