x^(2)-16 akar(x)=12 x-2 akar(x)=?

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai dari $x - 2
 akar(x)$. Kita diberikan persamaan $x^2 - 16
 akar(x) = 12$.

Misalkan $y = 
 akar(x)$. Maka, $y^2 = x$ dan $y^4 = x^2$.
Substitusikan ini ke dalam persamaan awal:
$(y^2)^2 - 16y = 12$
$y^4 - 16y = 12$
$y^4 - 16y - 12 = 0$

Kita perlu mencari nilai y yang memenuhi persamaan ini. Persamaan ini adalah persamaan polinomial derajat 4, yang mungkin sulit diselesaikan secara langsung. Mari kita coba pendekatan lain atau periksa apakah ada hubungan yang lebih sederhana.

Perhatikan kembali persamaan asli: $x^2 - 16
 akar(x) = 12$.
Kita ingin mencari $x - 2
 akar(x)$.

Mari kita coba memanipulasi persamaan asli.
Jika kita misalkan $x = u^2$, maka $
 akar(x) = u$. Persamaan menjadi:
$(u^2)^2 - 16u = 12$
$u^4 - 16u - 12 = 0$

Kita perlu mencari nilai u. Jika kita bisa menemukan nilai u, maka kita bisa mencari x, dan kemudian $x - 2
 akar(x)$.

Mari kita coba faktorisasi atau mencari akar rasional. Namun, tampaknya tidak mudah untuk difaktorkan.

Mari kita coba lihat hubungan antara $x^2 - 16
 akar(x) = 12$ dan $x - 2
 akar(x)$.

Jika kita perhatikan, $x^2$ berhubungan dengan $( 
 akar(x) )^4$. Dan $16
 akar(x)$ berhubungan dengan $2
 akar(x)$.

Coba kita perhatikan bentuk $(a-b)^2$ atau $(a+b)^2$.
Misalkan $A = x$ dan $B = 
 akar(x)$. Persamaan adalah $A^2 - 16B = 12$. Kita ingin mencari $A - 2B$.

Ini tidak terlihat seperti pola standar. Mari kita kembali ke substitusi $y = 
 akar(x)$.
$y^4 - 16y - 12 = 0$

Jika kita bisa menemukan nilai y, misalnya y=a, maka kita ingin mencari $a^2 - 2a$.

Mari kita coba beberapa nilai untuk y. Jika y=2, $16 - 32 - 12 = -28 
 e 0$. Jika y=-2, $16 - 16(-2) - 12 = 16 + 32 - 12 = 36 
 e 0$. Jika y=3, $81 - 16(3) - 12 = 81 - 48 - 12 = 21 
 e 0$. Jika y=-1, $1 - 16(-1) - 12 = 1 + 16 - 12 = 5 
 e 0$.

Ada kemungkinan bahwa soal ini memiliki kesalahan pengetikan atau memerlukan metode numerik/analitik yang lebih canggih untuk menemukan akar dari $y^4 - 16y - 12 = 0$. 

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa ada hubungan yang lebih sederhana, atau jika ada nilai x yang 'cantik' yang memenuhi persamaan.

Mari kita coba memanipulasi persamaan $x^2 - 16
 akar(x) = 12$ dengan cara lain.
Tambahkan $64x$ ke kedua sisi?
$x^2 + 64x - 16
 akar(x) = 12 + 64x$
Ini tidak membantu.

Bagaimana jika kita mencoba memisalkan $
 akar(x) = k$. Maka $x = k^2$. Persamaan menjadi:
$(k^2)^2 - 16k = 12$
$k^4 - 16k - 12 = 0$

Kita ingin mencari $x - 2
 akar(x) = k^2 - 2k$.

Jika kita mengamati persamaan $k^4 - 16k - 12 = 0$, kita bisa mencoba mencari faktornya.

Mari kita lihat kembali soalnya. Mungkin ada triknya.
$x^2 - 16
 akar(x) = 12$
$x - 2
 akar(x) = ?$

Jika kita misalkan $x = 4$. Maka $
 akar(x) = 2$.
$4^2 - 16(2) = 16 - 32 = -16 
 e 12$.

Jika kita misalkan $x = 16$. Maka $
 akar(x) = 4$.
$16^2 - 16(4) = 256 - 64 = 192 
 e 12$.

Jika kita misalkan $x = 
 akar(16) = 4$. $
 akar(x) = 2$. $
 akar(
 akar(x)) = 
 akar(2)$.

Mari kita coba kuadratkan ekspresi yang ingin kita cari: $(x - 2
 akar(x))^2 = x^2 - 4x
 akar(x) + 4x$.
Ini juga tidak langsung terlihat berhubungan.

Kemungkinan lain adalah bahwa $x^2 - 16
 akar(x) = 12$ dapat ditulis ulang dalam bentuk yang melibatkan $x - 2
 akar(x)$.

Misalkan $A = x - 2
 akar(x)$.
Maka $x = A + 2
 akar(x)$.
$x - A = 2
 akar(x)$.
Kuadratkan kedua sisi:
$(x-A)^2 = (2
 akar(x))^2$
$x^2 - 2Ax + A^2 = 4x$
$x^2 - 2Ax + A^2 - 4x = 0$

Ini juga tidak membantu.

Kembali ke $k^4 - 16k - 12 = 0$, di mana $k = 
 akar(x)$. Kita ingin mencari $k^2 - 2k$.

Mari kita coba tebak faktor dari $k^4 - 16k - 12 = 0$. Jika ada akar bulat, itu harus membagi -12.
Faktor dari 12 adalah $
 pm 1, 
 pm 2, 
 pm 3, 
 pm 4, 
 pm 6, 
 pm 12$.
Kita sudah coba 2 dan -2. Coba 3:
$3^4 - 16(3) - 12 = 81 - 48 - 12 = 21 
 e 0$.
Coba -3:
$(-3)^4 - 16(-3) - 12 = 81 + 48 - 12 = 117 
 e 0$.

Coba perhatikan bentuk persamaan: $x^2 = 12 + 16
 akar(x)$.
Kuadratkan kedua sisi:
$x^4 = (12 + 16
 akar(x))^2$
$x^4 = 144 + 2 * 12 * 16
 akar(x) + 256x$
$x^4 = 144 + 384
 akar(x) + 256x$
Ini juga tidak menyederhanakan.

Ada kemungkinan bahwa soal ini memang memerlukan penyelesaian persamaan $k^4 - 16k - 12 = 0$ secara numerik atau dengan metode khusus.

Namun, jika soal ini berasal dari konteks matematika sekolah, seringkali ada penyederhanaan atau trik.

Mari kita coba manipulasi ulang: $x^2 - 12 = 16
 akar(x)$.
Jika kita kuadratkan, $x^4 - 24x^2 + 144 = 256x$.
$x^4 - 24x^2 - 256x + 144 = 0$.

Mari kita lihat hasil yang dicari: $x - 2
 akar(x)$.
Jika $x - 2
 akar(x) = C$, maka $x = C + 2
 akar(x)$.
$(x-C)^2 = 4x$
$x^2 - 2Cx + C^2 = 4x$
$x^2 - (2C+4)x + C^2 = 0$.

Jika kita substitusi kembali $x^2 = 12 + 16
 akar(x)$ ke dalam persamaan di atas:
$(12 + 16
 akar(x)) - (2C+4)x + C^2 = 0$.
Ini menjadi lebih rumit.

Mari kita kembali ke $k^4 - 16k - 12 = 0$, dengan $k = 
 akar(x)$. Kita cari $k^2 - 2k$.
Jika kita coba faktorkan $k^4 - 16k - 12$ menjadi $(k^2 + ak + b)(k^2 + ck + d)$.
Koefisien $k^3$ dan $k$ harus nol.
$k^4 + (a+c)k^3 + (b+d+ac)k^2 + (ad+bc)k + bd = 0$.

$a+c = 0 
Rightarrow c = -a$
$ad+bc = 0 
Rightarrow ad - ab = 0 
Rightarrow a(d-b) = 0$.
Ini berarti $a=0$ atau $d=b$.

Kasus 1: $a=0$. Maka $c=0$.
Persamaan menjadi $(k^2+b)(k^2+d) = k^4 + (b+d)k^2 + bd = 0$.
Ini berarti $b+d = 0$ dan $bd = -12$. $d=-b$. Maka $-b^2 = -12 
Rightarrow b^2 = 12$. $b = 
 pm 
 sqrt(12)$.
Jadi, $(k^2 + 
 sqrt(12))(k^2 - 
 sqrt(12)) = k^4 - 12 = 0$. Ini tidak sesuai dengan $-16k$.

Kasus 2: $d=b$.
Persamaan menjadi $(k^2 + ak + b)(k^2 - ak + b) = ((k^2+b) + ak)((k^2+b) - ak)$
$= (k^2+b)^2 - (ak)^2$
$= k^4 + 2bk^2 + b^2 - a^2k^2$
$= k^4 + (2b-a^2)k^2 + b^2 = 0$.

Ini berarti koefisien $k^2$ harus nol dan koefisien $k$ harus nol.
Dari $k^4 - 16k - 12 = 0$, koefisien $k^2$ adalah 0.
Jadi $2b - a^2 = 0 
Rightarrow a^2 = 2b$.
Koefisien $k$ adalah $-16$. Dari faktorisasi, koefisien $k$ adalah 0. Ini tidak cocok.

Sepertinya pemfaktoran bentuk ini tidak berhasil.

Mari kita coba pendekatan lain. Jika kita perhatikan bahwa $x^2 - 16
 akar(x) = 12$ mirip dengan $(x-c)^2$ atau $(x-c)(x+c)$.

Bagaimana jika $x = 4$? $
 akar(x) = 2$. $16 - 16(2) = -16 
 e 12$.
Bagaimana jika $x = 16$? $
 akar(x) = 4$. $256 - 16(4) = 256 - 64 = 192 
 e 12$.

Mari kita coba manipulasi $x^2 - 16
 akar(x) = 12$ menjadi sesuatu yang mirip dengan $(x - 2
 akar(x))$.

Perhatikan bahwa $x = (
 akar(x))^2$. Jadi persamaan menjadi $(
 akar(x))^4 - 16
 akar(x) = 12$.
Misalkan $u = 
 akar(x)$. Maka $u^4 - 16u = 12$.
Kita mencari $x - 2
 akar(x) = u^2 - 2u$.

Jika kita coba tambahkan $4u^2$ ke kedua sisi persamaan $u^4 - 16u = 12$:
$u^4 + 4u^2 - 16u = 12 + 4u^2$
$(u^2 + 2)^2 - 4u^2 - 16u = 12 + 4u^2$

Ini tidak terlihat membantu.

Jika kita bisa menemukan nilai u, maka kita bisa menghitung $u^2 - 2u$.

Kembali ke $u^4 - 16u - 12 = 0$.
Jika kita perhatikan ada kemungkinan pemfaktoran menjadi $(u^2 + au + b)(u^2 + cu + d) = u^4 - 16u - 12$.

Ada teorema tentang menyelesaikan persamaan kuartik, tetapi itu sangat rumit.

Mari kita coba kembali ke soal asli dan lihat apakah ada pola yang terlewat.
$x^2 - 16
 akar(x) = 12$
$x - 2
 akar(x) = ?$

Jika kita misalkan $x = a^2$, maka $
 akar(x) = |a|$. Untuk $
 akar(x)$ terdefinisi, kita asumsikan $x 
 ge 0$, jadi $
 akar(x) 
 ge 0$. Maka $x = (
 akar(x))^2$. Misal $y = 
 akar(x) 
 ge 0$.
$y^4 - 16y - 12 = 0$.
Kita cari $y^2 - 2y$.

Jika ada suatu nilai y yang memenuhi $y^4 - 16y - 12 = 0$, misalnya $y_0$, maka jawabannya adalah $y_0^2 - 2y_0$.

Misalkan jawabannya adalah C. Maka $y^2 - 2y = C$.
$y^2 = C + 2y$.
$y^4 = (C + 2y)^2 = C^2 + 4Cy + 4y^2$.
Substitusikan $y^2 = C+2y$ ke persamaan ini:
$y^4 = C^2 + 4Cy + 4(C+2y)$
$y^4 = C^2 + 4Cy + 4C + 8y$
$y^4 = (C^2 + 4C) + (4C+8)y$

Kita tahu $y^4 = 16y + 12$.
Jadi, $(C^2 + 4C) + (4C+8)y = 16y + 12$.

Agar persamaan ini berlaku untuk y, koefisien y harus sama dan konstanta harus sama.

Koefisien y: $4C+8 = 16 
Rightarrow 4C = 8 
Rightarrow C = 2$.
Konstanta: $C^2 + 4C = 12$.
Jika $C=2$, maka $2^2 + 4(2) = 4 + 8 = 12$. Ini cocok!

Jadi, nilai yang dicari adalah $C=2$.

Mari kita verifikasi.
Jika $x - 2
 akar(x) = 2$, maka $
 akar(x)^2 - 2
 akar(x) = 2$. Misal $y = 
 akar(x)$.
$y^2 - 2y = 2$
$y^2 - 2y - 2 = 0$.
Dengan rumus kuadrat untuk y:
$y = rac{-(-2) 
 pm 
 sqrt((-2)^2 - 4(1)(-2))}{2(1)}$
$y = rac{2 
 pm 
 sqrt(4 + 8)}{2}$
$y = rac{2 
 pm 
 sqrt(12)}{2}$
$y = rac{2 
 pm 2
 sqrt(3)}{2}$
$y = 1 
 pm 
 sqrt(3)$.
Karena $
 akar(x) 
 ge 0$, maka $y = 1 + 
 sqrt(3)$.

Sekarang, kita perlu memeriksa apakah nilai y ini memenuhi $y^4 - 16y - 12 = 0$.
$y = 1 + 
 sqrt(3)$.
$y^2 = (1 + 
 sqrt(3))^2 = 1 + 2
 sqrt(3) + 3 = 4 + 2
 sqrt(3)$.
$y^4 = (y^2)^2 = (4 + 2
 sqrt(3))^2$
$y^4 = 16 + 2(4)(2
 sqrt(3)) + (2
 sqrt(3))^2$
$y^4 = 16 + 16
 sqrt(3) + 4(3)$
$y^4 = 16 + 16
 sqrt(3) + 12$
$y^4 = 28 + 16
 sqrt(3)$.

Sekarang cek $y^4 - 16y - 12$:
$(28 + 16
 sqrt(3)) - 16(1 + 
 sqrt(3)) - 12$
$= 28 + 16
 sqrt(3) - 16 - 16
 sqrt(3) - 12$
$= (28 - 16 - 12) + (16
 sqrt(3) - 16
 sqrt(3))$
$= 0 + 0 = 0$.

Jadi, nilai $y = 1 + 
 sqrt(3)$ memang memenuhi persamaan $y^4 - 16y - 12 = 0$. Dan nilai yang dicari adalah $y^2 - 2y$, yang kita sudah tunjukkan bernilai 2.