limit x->0 (akar(x^2 + 1) - 1)/akar(3x^5 + 4 sin^4 x) =

Nilai limitnya adalah 1/4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan manipulasi aljabar.

Limit yang diberikan adalah:  lim (x->0) [√(x² + 1) - 1] / [√(3x⁵ + 4 sin⁴ x)]

Ketika x mendekati 0, kita substitusikan x = 0 ke dalam persamaan:
Pembilang: √(0² + 1) - 1 = √1 - 1 = 1 - 1 = 0
Penyebut: √(3(0)⁵ + 4 sin⁴ 0) = √(0 + 4(0)⁴) = √0 = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut. Salah satu cara adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugatnya.

Konjugat dari pembilang √(x² + 1) - 1 adalah √(x² + 1) + 1.

lim (x->0) [√(x² + 1) - 1] / [√(3x⁵ + 4 sin⁴ x)] * [√(x² + 1) + 1] / [√(x² + 1) + 1]
= lim (x->0) [(x² + 1) - 1] / [√(3x⁵ + 4 sin⁴ x) * (√(x² + 1) + 1)]
= lim (x->0) x² / [√(3x⁵ + 4 sin⁴ x) * (√(x² + 1) + 1)]

Selanjutnya, kita perlu menyederhanakan penyebut. Kita tahu bahwa untuk x yang mendekati 0, sin x ≈ x. Maka, sin⁴ x ≈ x⁴.

Penyebut menjadi: √(3x⁵ + 4x⁴) * (√(x² + 1) + 1)
Kita bisa faktorkan x⁴ dari dalam akar kuadrat di penyebut:
√(x⁴(3x + 4)) = |x²|√(3x + 4) = x²√(3x + 4) (karena x² selalu positif)

Jadi, ekspresi limit menjadi:
lim (x->0) x² / [x²√(3x + 4) * (√(x² + 1) + 1)]

Kita bisa membatalkan x² di pembilang dan penyebut:
lim (x->0) 1 / [√(3x + 4) * (√(x² + 1) + 1)]

Sekarang, kita substitusikan x = 0 kembali:
1 / [√(3(0) + 4) * (√(0² + 1) + 1)]
= 1 / [√4 * (√1 + 1)]
= 1 / [2 * (1 + 1)]
= 1 / [2 * 2]
= 1 / 4

Jadi, nilai limitnya adalah 1/4.