limit x->0 (cos4x-1)/(x tan2x)=...

-4

Pembahasan

Untuk menghitung \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos 4x - 1}{x \tan 2x}\), kita bisa menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi, manipulasi aljabar dengan identitas trigonometri, atau aturan L'Hôpital jika bentuknya adalah 0/0.

Mari kita periksa bentuk substitusi langsung:
Ketika \(x \to 0\), \(\cos 4x \to \cos 0 = 1\). Jadi, pembilangnya \(\cos 4x - 1 \to 1 - 1 = 0\).
Ketika \(x \to 0\), \(x \to 0\) dan \(\tan 2x \to \tan 0 = 0\). Jadi, penyebutnya \(x \tan 2x \to 0 \times 0 = 0\).
Karena bentuknya adalah 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital atau manipulasi identitas trigonometri.

Metode Manipulasi Identitas Trigonometri:
Kita tahu bahwa \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\).
Jadi, \(x \tan 2x = x \frac{\sin 2x}{\cos 2x}\).

Ekspresi menjadi: \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos 4x - 1}{x \frac{\sin 2x}{\cos 2x}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\cos 4x - 1) \cos 2x}{x \sin 2x}\).

Kita juga tahu identitas trigonometri \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha\). Maka, \(\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x\).
Substitusikan ini ke pembilang:
\(\cos 4x - 1 = (1 - 2\sin^2 2x) - 1 = -2\sin^2 2x\).

Ekspresi menjadi: \(\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 2x \cos 2x}{x \sin 2x}\).

Kita bisa memisahkan ini menjadi beberapa limit yang diketahui:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1\).

\(\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 2x \cos 2x}{x \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \left( -2 \cdot \frac{\sin 2x}{x} \cdot \frac{\sin 2x}{\sin 2x} \cdot \cos 2x \right)\)
Ini belum tepat. Mari kita susun ulang:
\(\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 2x \cos 2x}{x \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \left( -2 \cdot \frac{\sin 2x}{x} \cdot \frac{\sin 2x}{\sin 2x} \cdot \cos 2x \right)\)
Ini masih belum tepat. Mari kita susun ulang agar sesuai dengan bentuk \(\frac{\sin kx}{kx}\).

\(\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 2x \cos 2x}{x \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \left( -2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{x} \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \cos 2x \right)\)
Ini juga terlalu rumit. Mari kita coba lagi dengan membagi pembilang dan penyebut dengan \(x^2\) atau dengan mengelompokkan suku yang tepat.

Perhatikan \(\frac{\sin 2x}{x}\). Kita perlu \(2x\) di penyebut agar menjadi 1. Jadi kita kalikan dengan 2/
\(\frac{\sin 2x}{x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2\)

Ekspresi awal: \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos 4x - 1}{x \tan 2x}\)

Gunakan identitas \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta \Rightarrow \cos 4x - 1 = -2\sin^2 2x\)

Gunakan \(\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}\)

Limit menjadi: \(\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 2x}{x \frac{\sin 2x}{\cos 2x}} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 2x \cos 2x}{x \sin 2x}\)

Pisahkan menjadi:
\(\lim_{x \to 0} \left( -2 \cdot \frac{\sin 2x}{x} \cdot \frac{\sin 2x}{\sin 2x} \cdot \cos 2x \right)\) - ini masih salah.

Mari kita kelompokkan \(\frac{\sin 2x}{2x}\).
\(\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 2x \cos 2x}{x \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \left( -2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{x} \cdot \frac{\sin 2x}{\sin 2x} \cdot \cos 2x \right)\) - ini masih salah.

Mari kita ubah penyebutnya menjadi \(2x \cdot \sin 2x\).
\(\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 2x \cos 2x}{x \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin 2x \cos 2x}{x} \cdot \frac{\sin 2x}{\sin 2x}\)

Kita tahu \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k\).

Jadi, kita perlu \(2x\) di penyebut untuk \(\sin 2x\).

\(\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 2x \cos 2x}{x \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \left( -2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2 \cdot \frac{\cos 2x}{1} \right)\)
Ini salah.

Mari kita susun ulang penyebutnya: \(x \tan 2x = x \frac{\sin 2x}{\cos 2x}\).
Limit menjadi: \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos 4x - 1}{x \frac{\sin 2x}{\cos 2x}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\cos 4x - 1) \cos 2x}{x \sin 2x}\).

Kita tahu bahwa \(\frac{\cos kx - 1}{x^2} \to -\frac{k^2}{2}\) dan \(\frac{\sin kx}{x} \to k\).

Mari kita bagi pembilang dan penyebut dengan \(x^2\) agar cocok dengan identitas yang diketahui:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos 4x - 1}{x^2} \cos 2x}{\frac{x \sin 2x}{x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos 4x - 1}{x^2} \cos 2x}{\frac{\sin 2x}{x}}\)

Kita tahu:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\cos 4x - 1}{x^2} = -\frac{4^2}{2} = -\frac{16}{2} = -8\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2\)
\(\lim_{x \to 0} \cos 2x = \cos 0 = 1\)

Jadi, limitnya adalah: \(\frac{-8 \times 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4\).

Metode Aturan L'Hôpital:
Karena bentuknya adalah 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
Turunan pembilang: \(\frac{d}{dx}(\cos 4x - 1) = -4\sin 4x\).
Turunan penyebut: \(\frac{d}{dx}(x \tan 2x) = 1 \cdot \tan 2x + x \cdot (2\sec^2 2x) = \tan 2x + 2x\sec^2 2x\).

Limit menjadi: \(\lim_{x \to 0} \frac{-4\sin 4x}{\tan 2x + 2x\sec^2 2x}\).

Substitusi \(x=0\):
Pembilang: \(-4\sin 0 = 0\).
Penyebut: \(\tan 0 + 2(0)\sec^2 0 = 0 + 0 = 0\).
Karena masih 0/0, kita gunakan L'Hôpital lagi.

Turunan pembilang kedua: \(\frac{d}{dx}(-4\sin 4x) = -16\cos 4x\).
Turunan penyebut kedua: \(\frac{d}{dx}(\tan 2x + 2x\sec^2 2x)\)
   \(\frac{d}{dx}(\tan 2x) = 2\sec^2 2x\)
   \(\frac{d}{dx}(2x\sec^2 2x) = 2 \cdot \sec^2 2x + 2x \cdot (2\sec 2x \cdot \sec 2x \tan 2x \cdot 2)\)
   \(= 2\sec^2 2x + 8x\sec^2 2x\tan 2x\)
Jadi, turunan penyebut kedua adalah \(2\sec^2 2x + 2\sec^2 2x + 8x\sec^2 2x\tan 2x = 4\sec^2 2x + 8x\sec^2 2x\tan 2x\).

Limit menjadi: \(\lim_{x \to 0} \frac{-16\cos 4x}{4\sec^2 2x + 8x\sec^2 2x\tan 2x}\).

Substitusi \(x=0\):
Pembilang: \(-16\cos 0 = -16\).
Penyebut: \(4\sec^2 0 + 8(0)\sec^2 0\tan 0 = 4(1)^2 + 0 = 4\).

Jadi, limitnya adalah \(\frac{-16}{4} = -4\).

Kedua metode memberikan hasil yang sama, yaitu -4.