Suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x-4) bersisa 5, dan f(x)

x + 1

Pembahasan

Untuk soal nomor 3, kita diberikan informasi bahwa suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x-4) bersisa 5, dan f(x) habis dibagi (x^2-1). Kita perlu mencari sisa pembagian f(x) jika dibagi (x^2-3x-4).

Dari informasi pertama, f(4) = 5 (berdasarkan teorema sisa).
Dari informasi kedua, f(x) habis dibagi (x^2-1). Ini berarti f(x) habis dibagi oleh (x-1) dan (x+1). Maka, f(1) = 0 dan f(-1) = 0.

Pembagi baru adalah x^2-3x-4. Kita faktorkan pembagi ini: x^2-3x-4 = (x-4)(x+1).
Karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya akan berderajat paling tinggi 1. Misalkan sisa pembagiannya adalah S(x) = Ax + B.

Maka, f(x) = (x^2-3x-4) Q(x) + Ax + B
f(x) = (x-4)(x+1) Q(x) + Ax + B

Kita gunakan informasi yang kita punya:
1. Saat x = 4:
f(4) = (4-4)(4+1) Q(4) + A(4) + B
5 = 0 * 5 * Q(4) + 4A + B
5 = 4A + B  (Persamaan 1)

2. Saat x = -1:
f(-1) = (-1-4)(-1+1) Q(-1) + A(-1) + B
0 = (-5) * 0 * Q(-1) - A + B
0 = -A + B  (Persamaan 2)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear dari Persamaan 1 dan Persamaan 2:
Dari Persamaan 2, kita dapatkan B = A.
Substitusikan B = A ke Persamaan 1:
5 = 4A + A
5 = 5A
A = 1

Karena B = A, maka B = 1.
Jadi, sisa pembagian f(x) jika dibagi (x^2-3x-4) adalah S(x) = Ax + B = 1x + 1 = x + 1.