limit x -> 0 sin^2 3x/2x tan 3x=....

3/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.
Limit x -> 0 sin^2 3x / (2x tan 3x)
Kita tahu bahwa tan 3x = sin 3x / cos 3x.
Maka, limitnya menjadi:
Limit x -> 0 sin^2 3x / (2x * (sin 3x / cos 3x))
Limit x -> 0 (sin^2 3x * cos 3x) / (2x * sin 3x)
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan sin 3x:
Limit x -> 0 (sin 3x * cos 3x) / (2x)
Sekarang, kita bisa memisahkan konstanta dan menggunakan limit standar:
(1/2) * Limit x -> 0 (sin 3x / x) * cos 3x
Kita tahu bahwa Limit x -> 0 (sin ax / bx) = a/b.
Jadi, Limit x -> 0 (sin 3x / x) = 3/1 = 3.
Dan Limit x -> 0 cos 3x = cos(0) = 1.
Maka, limitnya adalah:
(1/2) * 3 * 1 = 3/2.

Alternatif menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0:
Limit x -> 0 sin^2 3x / (2x tan 3x)
Turunan dari sin^2 3x adalah 2 * sin 3x * cos 3x * 3 = 6 sin 3x cos 3x.
Turunan dari 2x tan 3x adalah 2 * tan 3x + 2x * (3 sec^2 3x) = 2 tan 3x + 6x sec^2 3x.

Menggunakan bentuk yang lebih sederhana sebelum L'Hopital:
Limit x -> 0 sin^2 3x / (2x * (sin 3x / cos 3x))
Limit x -> 0 (sin 3x * cos 3x) / (2x)
Kita dapat menulis ulang sebagai:
Limit x -> 0 (sin 3x / 3x) * 3x * cos 3x / (2x)
= Limit x -> 0 (sin 3x / 3x) * (3x/2x) * cos 3x
= 1 * (3/2) * cos(0)
= 1 * (3/2) * 1
= 3/2