limit x -> 0 (sin 3x . tan x)/x^2 = ....

3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Limit x -> 0 (sin 3x . tan x)/x^2
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim f(x)/g(x) adalah bentuk 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim f'(x)/g'(x).
Kita turunkan pembilang dan penyebutnya:
Turunan dari sin(3x) adalah 3cos(3x).
Turunan dari tan(x) adalah sec^2(x).
Jadi, turunan dari pembilang (sin 3x . tan x) adalah (3cos(3x) * tan x) + (sin 3x * sec^2 x) menggunakan aturan perkalian.
Turunan dari penyebut (x^2) adalah 2x.
Jadi, limitnya menjadi: lim x -> 0 [(3cos(3x) * tan x) + (sin 3x * sec^2 x)] / (2x).
Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk 0/0. Maka kita terapkan aturan L'Hopital sekali lagi.
Turunan dari 3cos(3x)tan(x) + sin(3x)sec^2(x):
Turunan dari 3cos(3x)tan(x) adalah (-9sin(3x)tan(x) + 3cos(3x)sec^2(x)).
Turunan dari sin(3x)sec^2(x) adalah (3cos(3x)sec^2(x) + sin(3x) * 2sec(x) * sec(x)tan(x)) = (3cos(3x)sec^2(x) + 2sin(3x)sec^2(x)tan(x)).
Jadi, turunan pembilang adalah -9sin(3x)tan(x) + 6cos(3x)sec^2(x) + 2sin(3x)sec^2(x)tan(x).
Turunan dari penyebut (2x) adalah 2.
Sekarang kita substitusikan x=0 ke turunan kedua pembilang dibagi turunan kedua penyebut:
[-9sin(0)tan(0) + 6cos(0)sec^2(0) + 2sin(0)sec^2(0)tan(0)] / 2
= [-9(0)(0) + 6(1)(1)^2 + 2(0)(1)^2(0)] / 2
= [0 + 6 + 0] / 2
= 6 / 2
= 3.
Alternatif lain, kita bisa menggunakan sifat limit: lim x->0 sin(ax)/ax = 1 dan lim x->0 tan(bx)/bx = 1.
Limit x -> 0 (sin 3x . tan x)/x^2 = Limit x -> 0 (sin 3x / (3x)) * (tan x / x) * (3x / x)
= Limit x -> 0 (sin 3x / 3x) * Limit x -> 0 (tan x / x) * Limit x -> 0 (3x / x)
= 1 * 1 * 3
= 3.