limit x->0 (tan 2x)/3x

2/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to0} \frac{\tan 2x}{3x}$, kita bisa menggunakan sifat limit trigonometri atau mengubah bentuknya.

Metode 1: Menggunakan sifat $\lim_{u\to0} \frac{\tan u}{u} = 1$
Kita perlu membuat bentuk $\frac{\tan 2x}{2x}$.

$\lim_{x\to0} \frac{\tan 2x}{3x} = \lim_{x\to0} \frac{\tan 2x}{3x} \times \frac{2}{2}$
= $\lim_{x\to0} \frac{\tan 2x}{2x} \times \frac{2}{3}$

Karena $\lim_{x\to0} \frac{\tan 2x}{2x} = 1$ (dengan substitusi u = 2x, ketika x->0 maka u->0, sehingga menjadi $\lim_{u\to0} \frac{\tan u}{u} = 1$), maka:
= $1 \times \frac{2}{3}$
= $\frac{2}{3}$

Metode 2: Menggunakan aturan L'Hopital (jika sudah dipelajari)
Karena substitusi x=0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebutnya.

Turunan dari tan(2x) adalah sec^2(2x) * 2 = 2 sec^2(2x)
Turunan dari 3x adalah 3

Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{x\to0} \frac{2 \sec^2(2x)}{3}$
Substitusikan x=0:
$\frac{2 \sec^2(0)}{3} = \frac{2 \times 1^2}{3} = \frac{2}{3}$

Hasil limitnya adalah 2/3.