limit x -> 0 x(akar(x+1)-1)/(1-cos x)=. . . .

1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya 0/0 saat x mendekati 0.

Turunan dari pembilang x(√(x+1)-1) adalah:
(√(x+1)-1) + x * (1 / (2√(x+1)))
= √(x+1) - 1 + x / (2√(x+1))

Turunan dari penyebut (1-cos x) adalah:
sin x

Sekarang kita terapkan aturan L'Hopital:
lim x->0 [√(x+1) - 1 + x / (2√(x+1))] / sin x

Karena masih 0/0, kita terapkan lagi aturan L'Hopital.

Turunan dari √(x+1) - 1 + x / (2√(x+1)) adalah:
(1 / (2√(x+1))) + [(1 * 2√(x+1)) - (x * 2 * 1 / (2√(x+1)))] / (4(x+1))
= 1 / (2√(x+1)) + [2√(x+1) - 2x / √(x+1)] / (4(x+1))
= 1 / (2√(x+1)) + (2(x+1) - 2x) / (4(x+1)√(x+1))
= 1 / (2√(x+1)) + 2 / (4(x+1)√(x+1))
= 1 / (2√(x+1)) + 1 / (2(x+1)√(x+1))

Turunan dari sin x adalah cos x.

Mengganti x = 0 ke dalam turunan kedua:
[1 / (2√1)) + 1 / (2(1)√1)] / cos 0
= (1/2 + 1/2) / 1
= 1 / 1
= 1

Jadi, nilai limitnya adalah 1.