limit x->4 (x-4)/(x^3-64)=....

1/48

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to4} \frac{x-4}{x^3-64}$, kita dapat menggunakan metode faktorisasi atau aturan L'Hopital karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.

**Metode Faktorisasi:**
Kita faktorkan penyebut $x^3 - 64$ sebagai selisih kubik: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Di sini, $a=x$ dan $b=4$.
Jadi, $x^3 - 64 = (x-4)(x^2+4x+16)$.

Maka, limitnya menjadi:
$\lim_{x\to4} \frac{x-4}{(x-4)(x^2+4x+16)}$
Kita bisa membatalkan $(x-4)$ karena $x \to 4$ berarti $x \neq 4$.
$\lim_{x\to4} \frac{1}{x^2+4x+16}$
Sekarang, substitusikan $x=4$:
$rac{1}{4^2+4(4)+16} = \frac{1}{16+16+16} = \frac{1}{48}$

**Metode Aturan L'Hopital:**
Karena substitusi langsung menghasilkan $\frac{0}{0}$, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
Turunan pembilang $(x-4)$ adalah $1$.
Turunan penyebut $(x^3-64)$ adalah $3x^2$.

Maka, limitnya menjadi:
$\lim_{x\to4} \frac{1}{3x^2}$
Substitusikan $x=4$:
$rac{1}{3(4^2)} = \frac{1}{3(16)} = \frac{1}{48}$

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{1}{48}$.