limit x mendekati 0 (akar(2)-akar(1+ cos 2x)/sin^2 x = ....

√2 / 2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan substitusi dan identitas trigonometri.

Limit x mendekati 0 (akar(2)-akar(1+ cos 2x))/sin^2 x

Kita tahu bahwa cos 2x = 2 cos^2 x - 1. Maka, 1 + cos 2x = 1 + (2 cos^2 x - 1) = 2 cos^2 x.
Jadi, akar(1 + cos 2x) = akar(2 cos^2 x) = |√2 cos x|.
Karena x mendekati 0, cos x positif, sehingga |√2 cos x| = √2 cos x.

Substitusikan kembali ke dalam limit:
Limit x mendekati 0 (√2 - √2 cos x) / sin^2 x
= Limit x mendekati 0 √2 (1 - cos x) / sin^2 x

Kita juga tahu identitas trigonometri sin^2 x + cos^2 x = 1, sehingga sin^2 x = 1 - cos^2 x = (1 - cos x)(1 + cos x).

Substitusikan identitas sin^2 x:
= Limit x mendekati 0 √2 (1 - cos x) / [(1 - cos x)(1 + cos x)]

Kita bisa membatalkan (1 - cos x) karena x mendekati 0 tetapi tidak sama dengan 0:
= Limit x mendekati 0 √2 / (1 + cos x)

Sekarang substitusikan x = 0:
= √2 / (1 + cos 0)
= √2 / (1 + 1)
= √2 / 2
= 1/√2

Jadi, nilai limitnya adalah √2 / 2 atau 1/√2.