Rumus suku ke-n dari barisan 0, 2,6, 12, 20, ... adalah

Un = n² - n

Pembahasan

Untuk menemukan rumus suku ke-n dari barisan 0, 2, 6, 12, 20, ..., mari kita analisis polanya:
Selisih antara suku-suku berurutan:
2 - 0 = 2
6 - 2 = 4
12 - 6 = 6
20 - 12 = 8

Selisih ini membentuk barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, ... dengan beda 2.
Karena selisih tingkat kedua konstan, maka rumus suku ke-n adalah polinomial berderajat 2, yaitu Un = an² + bn + c.

Untuk n=1, U1 = a(1)² + b(1) + c = a + b + c = 0
Untuk n=2, U2 = a(2)² + b(2) + c = 4a + 2b + c = 2
Untuk n=3, U3 = a(3)² + b(3) + c = 9a + 3b + c = 6

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear tersebut:
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 2 - 0  => 3a + b = 2  (Persamaan 1)
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 6 - 2  => 5a + b = 4  (Persamaan 2)

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(5a + b) - (3a + b) = 4 - 2
2a = 2
a = 1

Substitusikan a = 1 ke Persamaan 1:
3(1) + b = 2
3 + b = 2
b = -1

Substitusikan a = 1 dan b = -1 ke a + b + c = 0:
1 + (-1) + c = 0
c = 0

Jadi, rumus suku ke-n adalah Un = 1n² - 1n + 0, atau Un = n² - n.

Mari kita cek:
U1 = 1² - 1 = 1 - 1 = 0
U2 = 2² - 2 = 4 - 2 = 2
U3 = 3² - 3 = 9 - 3 = 6
U4 = 4² - 4 = 16 - 4 = 12
U5 = 5² - 5 = 25 - 5 = 20

Rumus suku ke-n adalah Un = n(n-1) atau Un = n² - n.