limit x mendekati tak hingga (akar((x+a)(x+b))-x)=...

(a+b)/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x mendekati tak hingga dari \(\sqrt{(x+a)(x+b)} - x\), kita dapat menggunakan manipulasi aljabar dengan mengalikan dan membagi dengan konjugatnya.

Limit yang diberikan adalah:
$$L = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+a)(x+b)} - x)$$ 

Pertama, ekspansi bagian dalam akar:
$$(x+a)(x+b) = x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a+b)x + ab$$ 

Maka, ekspresinya menjadi:
$$L = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab} - x)$$ 

Sekarang, kalikan dengan konjugatnya, yaitu $\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab} + x$, baik di pembilang maupun penyebut:
$$L = \lim_{x \to \infty} \left( (\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab} - x) \times \frac{\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab} + x}{\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab} + x} \right)$$ 

Gunakan identitas $(p-q)(p+q) = p^2 - q^2$ di pembilang:
$$L = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + (a+b)x + ab) - x^2}{\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab} + x}$$ 

Sederhanakan pembilang:
$$L = \lim_{x \to \infty} \frac{(a+b)x + ab}{\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab} + x}$$ 

Untuk menyelesaikan limit saat x mendekati tak hingga, kita bagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x.
Di penyebut, kita perlu mengeluarkan x dari bawah akar. Ingat bahwa $\sqrt{x^2} = |x|$. Karena x mendekati tak hingga, x positif, jadi $|x| = x$.
$$\sqrt{x^2 + (a+b)x + ab} = \sqrt{x^2(1 + \frac{(a+b)}{x} + \frac{ab}{x^2})} = |x|\sqrt{1 + \frac{(a+b)}{x} + \frac{ab}{x^2}} = x\sqrt{1 + \frac{(a+b)}{x} + \frac{ab}{x^2}}$$ 

Maka, ekspresi limit menjadi:
$$L = \lim_{x \to \infty} \frac{x(\frac{(a+b)}{1} + \frac{ab}{x})}{x\sqrt{1 + \frac{(a+b)}{x} + \frac{ab}{x^2}} + x}$$ 

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
$$L = \lim_{x \to \infty} \frac{(a+b) + \frac{ab}{x}}{\sqrt{1 + \frac{(a+b)}{x} + \frac{ab}{x^2}} + 1}$$ 

Sekarang, terapkan limit saat x mendekati tak hingga. Suku-suku yang memiliki x di penyebutnya akan mendekati nol:
*   $\frac{ab}{x} \to 0$
*   $\frac{(a+b)}{x} \to 0$
*   $\frac{ab}{x^2} \to 0$

$$L = \frac{(a+b) + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1}$$ 
$$L = \frac{a+b}{\sqrt{1} + 1}$$ 
$$L = \frac{a+b}{1 + 1}$$ 
$$L = \frac{a+b}{2}$$ 

Jadi, limit dari $\sqrt{(x+a)(x+b)} - x$ saat x mendekati tak hingga adalah $\frac{a+b}{2}$.