Pada tanggal 16 juni 2021 lokal EIE 4 melakukan Ujian Akhir

a. x=14, b. D4=67,5, c. P76=76

Pembahasan

Untuk menentukan nilai x, kuartil atas (Q3), desil 4 (D4), dan persentil 76 (P76), kita perlu menggunakan data frekuensi yang diberikan. 

Langkah pertama adalah menghitung frekuensi kumulatif:

Trik Tengah | Frekuensi | Frekuensi Kumulatif
-------------------------------------------
52          | 4         | 4
57          | 6         | 10
62          | 8         | 18
67          | 10        | 28
72          | x         | 28+x
77          | 12        | 40+x
82          | 6         | 46+x

Total frekuensi (N) = 46 + x.

a. Menentukan nilai x jika kuartil atas (Q3) adalah 75,75.
Kuartil atas adalah nilai pada posisi ke-3N/4. Karena Q3 = 75,75, ini berarti nilai tersebut berada di kelas interval dengan trik tengah 77. 
Rumus Q3 = L + [(3N/4 - F) / f] * P, dimana L adalah batas bawah kelas Q3, F adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas Q3, f adalah frekuensi kelas Q3, dan P adalah panjang interval kelas.
Kelas Q3 adalah interval yang memuat data ke-3N/4. Jika kita asumsikan nilai x tidak terlalu besar, Q3 kemungkinan berada di kelas 77.
Q3 = 77 - 5 + [(3(46+x)/4 - 28) / 12] * 10 = 75,75
Ini sedikit rumit karena kita perlu menebak kelasnya. Mari kita coba pendekatan lain. Jika Q3 = 75,75, maka nilai ini berada di antara kelas 72 dan 77. Namun, dalam tabel yang diberikan, trik tengah adalah representasi dari interval. Jadi, 75,75 jatuh dalam interval yang memiliki trik tengah 77.
Batas bawah kelas 77 adalah 74,5. Panjang interval adalah 5.
Q3 = 74,5 + [(3(46+x)/4 - 28) / 12] * 5 = 75,75
[(3(46+x)/4 - 28) / 12] * 5 = 1,25
(3(46+x)/4 - 28) / 12 = 0,25
3(46+x)/4 - 28 = 3
3(46+x)/4 = 31
3(46+x) = 124
138 + 3x = 124
3x = -14
x = -14/3. Nilai frekuensi tidak mungkin negatif, jadi ada kesalahan dalam asumsi kelas atau data.

Mari kita coba jika Q3 berada di kelas 72. Batas bawah kelas 72 adalah 69,5.
Q3 = 69,5 + [(3(46+x)/4 - 18) / x] * 5 = 75,75
[(3(46+x)/4 - 18) / x] * 5 = 6,25
(3(46+x)/4 - 18) / x = 1,25
3(46+x)/4 - 18 = 1,25x
3(46+x) - 72 = 5x
138 + 3x - 72 = 5x
66 + 3x = 5x
66 = 2x
x = 33.
Jika x = 33, maka N = 46 + 33 = 79. Posisi Q3 = 3 * 79 / 4 = 59,25. Ini jauh di atas 72, yang berarti Q3 ada di kelas yang lebih tinggi.

Mari kita coba jika Q3 berada di kelas 77 dengan N=46+x. Posisi Q3 = 3(46+x)/4. Batas bawah kelas 77 adalah 74,5. Frekuensi kumulatif sebelum kelas 77 adalah 28+x. Frekuensi kelas 77 adalah 12.
Q3 = 74,5 + [(3(46+x)/4 - (28+x)) / 12] * 5 = 75,75
[(3(46+x)/4 - 28 - x) / 12] * 5 = 1,25
(3(46+x)/4 - 28 - x) / 12 = 0,25
3(46+x)/4 - 28 - x = 3
3(46+x)/4 - x = 31
3(46+x) - 4x = 124
138 + 3x - 4x = 124
138 - x = 124
x = 138 - 124
x = 14.

Jika x = 14, maka N = 46 + 14 = 60. Posisi Q3 = 3 * 60 / 4 = 45.
Kelas dengan frekuensi kumulatif 45 adalah kelas 77 (frekuensi kumulatif = 40+x = 40+14 = 54).
Q3 = 74,5 + [(45 - 40) / 12] * 5 = 74,5 + (5/12) * 5 = 74,5 + 2,0833 = 76,5833. Ini tidak sesuai dengan 75,75.

Ada kemungkinan data atau nilai kuartil atas yang diberikan kurang tepat atau perlu interpretasi lain.
Namun, jika kita mengasumsikan bahwa nilai 75.75 merujuk langsung pada batas atas dari kelas interval yang mengapitnya, atau jika kita menggunakan pendekatan yang lebih sederhana.
Dengan x=14, N=60. Q3 di posisi 45. Kelas 77 memiliki frekuensi kumulatif 54. Batas bawah kelas 77 adalah 74,5.
Q3 = 74,5 + ((45 - 40) / 12) * 5 = 74,5 + (5/12) * 5 = 74,5 + 2.08 = 76.58.

Jika kita kembali ke asumsi bahwa Q3 = 75,75 adalah nilai yang tepat dan berada di kelas 77:
Q3 = L + [(N_Q3 - FK) / f_Q3] * P
75,75 = 74,5 + [(3N/4 - (28+x)) / 12] * 5
1,25 = [(3N/4 - 28 - x) / 12] * 5
0,25 = (3N/4 - 28 - x) / 12
3 = 3N/4 - 28 - x
31 = 3N/4 - x
31 = 3(46+x)/4 - x
124 = 3(46+x) - 4x
124 = 138 + 3x - 4x
124 = 138 - x
x = 14.

Sekarang verifikasi dengan x=14, N=60. Q3 di posisi 45. Data kelas 77 adalah (40+14=54). Maka Q3 = 74.5 + ((45-40)/12)*5 = 74.5 + 2.08 = 76.58. Nilai ini tidak sama dengan 75.75.

Ada kemungkinan bahwa trik tengah digunakan sebagai batas kelas. Jika trik tengah 77 mewakili kelas 74.5 - 79.5, maka batas bawahnya adalah 74.5. Jika Q3=75.75, maka nilai tersebut berada di kelas 77.

Mari kita coba pendekatan lain dengan menggunakan rata-rata tertimbang. Rata-rata = (∑fx) / N
Namun, kita tidak dapat menghitung rata-rata tanpa nilai x.

Asumsi lain: Kuartil atas adalah nilai tengah dari 50% data teratas. Posisi Q3 = 3/4 N. Jika Q3 = 75.75, ini berada di antara trik tengah 72 dan 77.
Jika x = 14, N=60. Q3 di posisi 45. Frekuensi kumulatif: 4, 10, 18, 28, 42, 54, 60. Data ke-45 ada di kelas 77.
Mari kita gunakan rumus interpolasi linear jika kita menganggap trik tengah sebagai nilai tengah interval:
Kelas 72 (interval 69.5-74.5), Kelas 77 (interval 74.5-79.5).
75.75 berada di kelas 77.
Q3 = L + [(nQ3 - F) / f] * P
75.75 = 74.5 + [(45 - 42) / 12] * 5
75.75 = 74.5 + (3/12) * 5
75.75 = 74.5 + 0.25 * 5
75.75 = 74.5 + 1.25
75.75 = 75.75. 
Ini cocok. Jadi, x = 14.

a. Nilai x = 14.

b. Menentukan Desil 4 (D4).
N = 60. Posisi D4 = 4N/10 = 4 * 60 / 10 = 24.
Frekuensi kumulatif: 4, 10, 18, 28, 42, 54, 60.
Data ke-24 berada di kelas dengan trik tengah 67 (frekuensi kumulatif 28).
Batas bawah kelas 67 (interval 64.5-69.5) adalah 64,5. Frekuensi kumulatif sebelum kelas 67 adalah 18. Frekuensi kelas 67 adalah 10. Panjang interval adalah 5.
D4 = L + [(4N/10 - F) / f] * P
D4 = 64,5 + [(24 - 18) / 10] * 5
D4 = 64,5 + (6 / 10) * 5
D4 = 64,5 + 0,6 * 5
D4 = 64,5 + 3
D4 = 67,5.

c. Menentukan Persentil 76 (P76).
N = 60. Posisi P76 = 76N/100 = 76 * 60 / 100 = 45,6.
Frekuensi kumulatif: 4, 10, 18, 28, 42, 54, 60.
Data ke-45,6 berada di kelas dengan trik tengah 77 (frekuensi kumulatif 54).
Batas bawah kelas 77 (interval 74.5-79.5) adalah 74,5. Frekuensi kumulatif sebelum kelas 77 adalah 42. Frekuensi kelas 77 adalah 12. Panjang interval adalah 5.
P76 = L + [(76N/100 - F) / f] * P
P76 = 74,5 + [(45,6 - 42) / 12] * 5
P76 = 74,5 + (3,6 / 12) * 5
P76 = 74,5 + 0,3 * 5
P76 = 74,5 + 1,5
P76 = 76.

Jawaban:
a. Nilai x = 14
b. Desil 4 = 67,5
c. Persentil 76 = 76