limit x->pi/4 (1/akar(2) sin (pi/4-2x)+1/akar(2) cos

-1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan substitusi dan identitas trigonometri. 

Limit x->pi/4 (1/akar(2) sin (pi/4-2x)+1/akar(2) cos (pi/4-2x))/(4x-pi)

Misalkan y = pi/4 - 2x. Maka, ketika x -> pi/4, y -> pi/4 - 2(pi/4) = pi/4 - pi/2 = -pi/4. 
Juga, 2x = pi/4 - y, sehingga 4x = pi/2 - 2y. Dan 4x - pi = pi/2 - 2y - pi = -pi/2 - 2y.

Substitusikan ke dalam limit:
Limit y->-pi/4 (1/akar(2) sin(y) + 1/akar(2) cos(y)) / (-pi/2 - 2y)
= Limit y->-pi/4 [1/akar(2) (sin(y) + cos(y))] / [-1/2 (pi + 4y)]
= Limit y->-pi/4 [akar(2)/2 (sin(y) + cos(y))] / [-1/2 (pi + 4y)]

Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 jika kita substitusi langsung.
Turunkan pembilang terhadap y: d/dy [akar(2)/2 (sin(y) + cos(y))] = akar(2)/2 (cos(y) - sin(y))
Turunkan penyebut terhadap y: d/dy [-1/2 (pi + 4y)] = -1/2 (4) = -2

Maka, limitnya adalah:
[akar(2)/2 (cos(-pi/4) - sin(-pi/4))] / (-2)
= [akar(2)/2 (akar(2)/2 - (-akar(2)/2))] / (-2)
= [akar(2)/2 (akar(2)/2 + akar(2)/2)] / (-2)
= [akar(2)/2 (akar(2))] / (-2)
= [2/2] / (-2)
= 1 / (-2)
= -1/2