Limit x -> pi/4 (cos x-sin 2x cos x)/cos^2(2x)=...

Nilai limitnya adalah $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin 2x \cos x}{\cos^2 2x}$, pertama-tama kita substitusikan $x = \frac{\pi}{4}$ ke dalam persamaan untuk melihat apakah kita mendapatkan bentuk tak tentu.
$\\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\\sin 2(\frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$
$\\cos^2 2(\frac{\pi}{4}) = \cos^2 \frac{\pi}{2} = 0^2 = 0$

Substitusi menghasilkan $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{0} = \frac{0}{0}$, yang merupakan bentuk tak tentu. Oleh karena itu, kita perlu menyederhanakan persamaan menggunakan identitas trigonometri.

Gunakan identitas $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - (2 \sin x \cos x) \cos x}{\cos^2 2x}$
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - 2 \sin x \cos^2 x}{\cos^2 2x}$
Faktorkan $\cos x$ dari pembilang:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x (1 - 2 \sin x \cos x)}{\cos^2 2x}$
Gunakan identitas $1 - 2 \sin x \cos x = 1 - \sin 2x$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x (1 - \sin 2x)}{\cos^2 2x}$

Sekarang, gunakan identitas $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = (1-\sin \theta)(1+\sin \theta)$ dan $\cos^2 2x = (1 - \sin^2 2x) = (1 - \sin 2x)(1 + \sin 2x)$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x (1 - \sin 2x)}{(1 - \sin 2x)(1 + \sin 2x)}$
Batalkan faktor $(1 - \sin 2x)$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1 + \sin 2x}$

Sekarang substitusikan kembali $x = \frac{\pi}{4}$:
$\frac{\cos \frac{\pi}{4}}{1 + \sin 2(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \sin \frac{\pi}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + 1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$
$rac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{\sqrt{2}}{4}$.