limit x->pi (sin 4(x-pi))/((x-pi)+tan(x-pi))= ...

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan identitas trigonometri.

Limit yang diberikan adalah: lim (x→π) [sin(4(x-π))] / [(x-π) + tan(x-π)]

Misalkan y = x - π. Ketika x → π, maka y → 0.
Substitusi y ke dalam persamaan limit:
lim (y→0) [sin(4y)] / [y + tan(y)]

Kita tahu bahwa tan(y) = sin(y) / cos(y).
lim (y→0) [sin(4y)] / [y + sin(y)/cos(y)]

Samakan penyebutnya:
lim (y→0) [sin(4y)] / [(y*cos(y) + sin(y))/cos(y)]

Kalikan dengan kebalikan dari penyebut:
lim (y→0) [sin(4y) * cos(y)] / [y*cos(y) + sin(y)]

Sekarang, kita bisa menggunakan sifat limit lim (θ→0) sin(θ)/θ = 1 dan lim (θ→0) tan(θ)/θ = 1.
Kita bagi pembilang dan penyebut dengan y:
lim (y→0) [ (sin(4y)/y) * cos(y) ] / [ (y*cos(y)/y) + (sin(y)/y) ]

Gunakan sifat limit sin(ky)/y = k:
lim (y→0) [ 4 * cos(y) ] / [ cos(y) + 1 ]

Sekarang substitusikan y = 0:
= [ 4 * cos(0) ] / [ cos(0) + 1 ]
= [ 4 * 1 ] / [ 1 + 1 ]
= 4 / 2
= 2

Jadi, nilai limitnya adalah 2.