Lingkaran L: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1 dirotasikan sebesar

Persamaan lingkaran hasil rotasi adalah (x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 1

Pembahasan

Persamaan lingkaran L adalah (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1.
Ini adalah lingkaran dengan pusat P(1, -2) dan jari-jari r = 1.

Rotasi pertama: sebesar 135 derajat terhadap titik pusat (3, 1).
Rotasi kedua: sebesar 45 derajat terhadap titik pusat (3, 1).

Karena kedua rotasi dilakukan terhadap titik pusat yang sama, maka rotasi gabungannya adalah jumlah dari kedua sudut rotasi tersebut.
Sudut rotasi total = 135 derajat + 45 derajat = 180 derajat.

Rotasi sebesar 180 derajat terhadap sebuah titik P(a, b) akan menghasilkan bayangan P'(x', y') dengan rumus:
x' - a = -(x - a)  => x' = 2a - x
y' - b = -(y - b)  => y' = 2b - y

Dalam kasus ini, titik pusat rotasi adalah (a, b) = (3, 1) dan pusat lingkaran asli adalah (x, y) = (1, -2).

Menggunakan rumus rotasi 180 derajat terhadap titik (3, 1):

x_pusat_baru = 2 * 3 - 1 = 6 - 1 = 5
y_pusat_baru = 2 * 1 - (-2) = 2 + 2 = 4

Jadi, pusat lingkaran yang baru adalah (5, 4).

Rotasi tidak mengubah jari-jari lingkaran. Jari-jari lingkaran tetap r = 1.

Oleh karena itu, persamaan lingkaran hasil rotasi adalah:
(x - x_pusat_baru)^2 + (y - y_pusat_baru)^2 = r^2
(x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 1^2
(x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 1