Lingkaran x^2+y^2+px=0 dengan p bilangan real konstan,

Lingkaran selalu menyinggung sumbu-y.

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah x² + y² + px = 0. Untuk mengetahui lingkaran ini selalu menyinggung apa, kita perlu menganalisis bentuk persamaan ini. 
Persamaan umum lingkaran adalah (x - a)² + (y - b)² = r², di mana (a, b) adalah pusat lingkaran dan r adalah jari-jarinya.
Kita dapat mengubah persamaan yang diberikan menjadi bentuk umum dengan melengkapkan kuadrat untuk suku x:
x² + px + y² = 0
Tambahkan (p/2)² pada kedua sisi untuk melengkapkan kuadrat:
x² + px + (p/2)² + y² = (p/2)²
(x + p/2)² + y² = (p/2)²
Dari bentuk ini, kita dapat mengidentifikasi:
Pusat lingkaran (a, b) adalah (-p/2, 0).
Jari-jari lingkaran r adalah √(p/2)² = |p/2|.
Karena pusat lingkaran berada pada sumbu-x (koordinat y adalah 0) dan jari-jarinya adalah jarak dari pusat ke sumbu-y (nilai absolut dari koordinat x pusat), lingkaran ini akan selalu menyentuh atau menyinggung sumbu-y.
Untuk memverifikasi, substitusikan x = 0 (persamaan sumbu-y) ke dalam persamaan lingkaran:
0² + y² + p(0) = 0
y² = 0
y = 0
Ini menunjukkan bahwa satu-satunya titik potong lingkaran dengan sumbu-y adalah di (0, 0), yang merupakan titik singgung. Jadi, lingkaran selalu menyinggung sumbu-y.