Lingkaran yang berpusat di (2, -3) dan menyinggung sumbu x

$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9$

Pembahasan

Soal ini melibatkan transformasi geometri pada sebuah lingkaran.

Langkah 1: Tentukan persamaan lingkaran awal.
Lingkaran berpusat di $(2, -3)$ dan menyinggung sumbu x. Jari-jari lingkaran sama dengan jarak dari pusat ke sumbu x, yaitu nilai absolut dari koordinat y pusat. Jadi, jari-jarinya adalah $r = |-3| = 3$.
Persamaan lingkaran awal adalah $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, di mana $(h, k)$ adalah pusatnya.
$(x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 3^2$
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 9$

Langkah 2: Rotasi pada titik (0, 0) sejauh 90 derajat.
Rumus rotasi titik $(x, y)$ sejauh 90 derajat berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal (0, 0) adalah $(-y, x)$.
Untuk pusat lingkaran $(2, -3)$, setelah rotasi menjadi $(-(-3), 2) = (3, 2)$.
Jari-jari lingkaran tidak berubah setelah rotasi, tetap $r=3$.
Persamaan lingkaran setelah rotasi adalah $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 9$.

Langkah 3: Pencerminan terhadap garis $y=x$.
Rumus pencerminan titik $(x, y)$ terhadap garis $y=x$ adalah $(y, x)$.
Untuk pusat lingkaran $(3, 2)$, setelah dicerminkan terhadap garis $y=x$ menjadi $(2, 3)$.
Jari-jari lingkaran tidak berubah setelah pencerminan, tetap $r=3$.

Langkah 4: Tentukan persamaan bayangan lingkaran.
Persamaan bayangan lingkaran adalah $(x-h')^2 + (y-k')^2 = r^2$, di mana $(h', k')$ adalah pusat bayangan.
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 3^2$
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9$

Jadi, persamaan bayangan lingkaran adalah $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9$.