Lingkaran yang melalui titik-titik (4,2), (1,3), dan

5

Pembahasan

Untuk menentukan jari-jari lingkaran yang melalui tiga titik, kita perlu mencari persamaan umum lingkaran (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 atau x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0. Kita akan menggunakan bentuk umum kedua.

Substitusikan ketiga titik ke dalam persamaan:
Titik (4,2): 4^2 + 2^2 + A(4) + B(2) + C = 0 => 16 + 4 + 4A + 2B + C = 0 => 4A + 2B + C = -20 (Persamaan 1)
Titik (1,3): 1^2 + 3^2 + A(1) + B(3) + C = 0 => 1 + 9 + A + 3B + C = 0 => A + 3B + C = -10 (Persamaan 2)
Titik (-3,-5): (-3)^2 + (-5)^2 + A(-3) + B(-5) + C = 0 => 9 + 25 - 3A - 5B + C = 0 => -3A - 5B + C = -34 (Persamaan 3)

Eliminasi C:
(Persamaan 1) - (Persamaan 2): (4A + 2B + C) - (A + 3B + C) = -20 - (-10) => 3A - B = -10 (Persamaan 4)
(Persamaan 2) - (Persamaan 3): (A + 3B + C) - (-3A - 5B + C) = -10 - (-34) => 4A + 8B = 24 => A + 2B = 6 (Persamaan 5)

Eliminasi A dari Persamaan 4 dan 5:
Kalikan Persamaan 5 dengan 3: 3A + 6B = 18 (Persamaan 6)
Kurangkan Persamaan 6 dengan Persamaan 4: (3A + 6B) - (3A - B) = 18 - (-10) => 7B = 28 => B = 4

Substitusikan B = 4 ke Persamaan 5: A + 2(4) = 6 => A + 8 = 6 => A = -2

Substitusikan A = -2 dan B = 4 ke Persamaan 2: -2 + 3(4) + C = -10 => -2 + 12 + C = -10 => 10 + C = -10 => C = -20

Jadi, persamaan lingkarannya adalah x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0.

Untuk mencari jari-jari, ubah ke bentuk (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2:
(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 20
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 20 + 1 + 4
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25

Di sini, r^2 = 25, maka r = 5.

Lingkaran tersebut berjari-jari 5.