Diketahui jari-jari lingkaran dengan pusat A adalah 6 cm

Panjang AM adalah 7.5 cm.

Pembahasan

Diketahui jari-jari lingkaran dengan pusat A adalah R = 6 cm dan jari-jari lingkaran dengan pusat B adalah r = 2 cm. Jarak antara kedua pusat lingkaran adalah AB = 10 cm. Garis singgung persekutuan dalam memotong garis AB di titik M. C dan D berturut-turut adalah titik potong garis singgung persekutuan dalam dengan lingkaran B dan lingkaran A. Diketahui panjang DM = 2 cm. Kita perlu mencari panjang AM.

Karena garis singgung persekutuan dalam, kita dapat menggunakan konsep kesebangunan segitiga. Misalkan titik singgung pada lingkaran A adalah P dan pada lingkaran B adalah Q. Segitiga AMP sebangun dengan segitiga BMQ. Dengan menggunakan sifat kesebangunan, kita memiliki perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian:

$rac{AM}{BM} = rac{AP}{BQ} = rac{MP}{MQ}$

Kita tahu AP = R = 6 cm dan BQ = r = 2 cm. Juga, AM + BM = AB = 10 cm.
Dari perbandingan $rac{AM}{BM} = rac{AP}{BQ}$, kita dapatkan $rac{AM}{10 - AM} = rac{6}{2} = 3$.
Jadi, AM = 3(10 - AM) = 30 - 3AM.
4AM = 30, sehingga AM = 7.5 cm.

Selanjutnya, titik D terletak pada lingkaran A dan DM = 2 cm. Titik D juga merupakan titik singgung garis singgung persekutuan dalam dengan lingkaran A. Namun, informasi ini tampaknya bertentangan dengan cara soal mendefinisikan D sebagai titik potong garis singgung persekutuan dalam dengan lingkaran A. Jika D adalah titik singgung pada lingkaran A, maka AD = 6 cm. Jika DM = 2 cm, maka M tidak bisa berada di antara A dan D jika D adalah titik singgung. 

Mari kita asumsikan ada kesalahan dalam soal atau interpretasi. Jika kita mengabaikan informasi DM=2 cm dan fokus pada mencari M, kita sudah mendapatkan AM = 7.5 cm. 

Namun, jika kita menginterpretasikan D sebagai titik pada garis singgung persekutuan dalam yang berjarak 2 cm dari M, dan D juga berada pada lingkaran A, maka AD harusnya jari-jari lingkaran A yaitu 6 cm. Titik M terletak pada garis AB. Segitiga ADM adalah segitiga siku-siku di D jika AD adalah jari-jari tegak lurus garis singgung, yang tidak berlaku untuk garis singgung persekutuan dalam.

Jika kita kembali ke kesebangunan segitiga AMP dan BMQ, AM = 7.5 cm. Titik D adalah titik pada lingkaran A sedemikian sehingga DM = 2 cm. Jika D adalah titik singgung garis singgung persekutuan dalam pada lingkaran A, maka AD tegak lurus terhadap garis singgung tersebut.  Dalam segitiga siku-siku ADM (dengan sudut di D = 90 derajat), AM adalah sisi miring.  Maka $AM^2 = AD^2 + DM^2$.  $7.5^2 = 6^2 + DM^2$. $56.25 = 36 + DM^2$. $DM^2 = 20.25$. $DM = 4.5$ cm. Ini bertentangan dengan DM=2 cm.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain. Jika M adalah titik potong garis singgung persekutuan dalam dengan garis AB, dan D adalah titik singgung pada lingkaran A, maka AD = 6.  Karena M terletak pada garis AB, dan D adalah titik pada lingkaran A, serta DM = 2 cm, ini berarti jarak dari M ke titik singgung D adalah 2 cm.  Jika D adalah titik singgung pada lingkaran A, maka AD = 6.  Kita sudah menghitung AM = 7.5 cm.  Jika D adalah titik singgung, maka AD tegak lurus terhadap garis singgungnya.  Jika M terletak pada garis singgung tersebut, maka segitiga ADM bisa siku-siku di D. Dalam kasus ini, $AM^2 = AD^2 + DM^2$. $7.5^2 = 6^2 + DM^2$. $56.25 = 36 + DM^2$. $DM^2 = 20.25$. $DM = 4.5$. 

Ada kemungkinan D bukan titik singgung. D adalah titik potong garis singgung persekutuan dalam dengan lingkaran A. Jadi D ada di lingkaran A (AD=6) dan juga di garis singgung persekutuan dalam. M adalah titik potong garis singgung persekutuan dalam dengan AB. Jadi M juga ada di garis singgung persekutuan dalam. DM adalah jarak antara M dan D di garis singgung persekutuan dalam.  Jika DM = 2 cm, dan kita sudah menghitung AM = 7.5 cm, maka panjang AM adalah 7.5 cm. Informasi DM=2cm tampaknya redundan atau digunakan untuk memeriksa konsistensi, yang tampaknya tidak konsisten dalam soal ini.