Luas daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva

13,5

Pembahasan

Luas daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva y=6+5x-x^2, garis y=4x, dan sumbu Y dapat dihitung dengan menggunakan integral. Pertama, kita perlu mencari titik potong antara kurva y=6+5x-x^2 dan garis y=4x. Dengan menyamakan kedua persamaan: 6+5x-x^2 = 4x => x^2 - x - 6 = 0 => (x-3)(x+2) = 0. Karena kita berada di kuadran pertama, maka x=3. Titik potongnya adalah (3, 12). Batas integrasi adalah dari x=0 (sumbu Y) hingga x=3. Luas daerah dihitung dengan mengintegralkan selisih antara fungsi atas (kurva) dan fungsi bawah (garis) terhadap x: Luas = ∫[dari 0 sampai 3] ((6+5x-x^2) - 4x) dx = ∫[dari 0 sampai 3] (6+x-x^2) dx. Melakukan integrasi: [6x + (1/2)x^2 - (1/3)x^3] [dari 0 sampai 3]. Substitusikan batas atas dan bawah: (6*3 + (1/2)*3^2 - (1/3)*3^3) - (6*0 + (1/2)*0^2 - (1/3)*0^3) = (18 + 9/2 - 27/3) - 0 = 18 + 4.5 - 9 = 13.5. Jadi, luas daerahnya adalah 13,5 satuan luas.