Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y=x^2-5x-6

Luas daerahnya adalah 125/6 satuan luas.

Pembahasan

Untuk menentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x^2 - 5x - 6 dan garis y = -6, kita perlu mencari titik potong antara kedua fungsi tersebut terlebih dahulu.

Samakan kedua persamaan:
x^2 - 5x - 6 = -6

Pindahkan -6 ke sisi kiri:
x^2 - 5x - 6 + 6 = 0
x^2 - 5x = 0

Faktorkan persamaan kuadrat:
x(x - 5) = 0

Ini memberikan dua titik potong pada sumbu x:
x = 0 atau x = 5.

Luas daerah tertutup dihitung dengan integral tentu dari selisih kedua fungsi, dari batas bawah ke batas atas titik potong.
Dalam kasus ini, karena kurva parabola berada di atas garis y=-6 pada interval [0, 5] (kita bisa uji dengan mengambil nilai x di antara 0 dan 5, misalnya x=2, maka y=4-10-6=-12, yang lebih kecil dari -6), maka fungsinya adalah:
Luas = ∫[dari 0 sampai 5] ((x^2 - 5x - 6) - (-6)) dx
Luas = ∫[dari 0 sampai 5] (x^2 - 5x - 6 + 6) dx
Luas = ∫[dari 0 sampai 5] (x^2 - 5x) dx

Sekarang, hitung integralnya:
Luas = [x^3/3 - 5x^2/2] [dari 0 sampai 5]

Evaluasi integral pada batas atas dan batas bawah:
Luas = [(5^3/3 - 5(5^2)/2) - (0^3/3 - 5(0^2)/2)]
Luas = [(125/3 - 5(25)/2) - (0 - 0)]
Luas = 125/3 - 125/2

Samakan penyebutnya:
Luas = (2 * 125)/6 - (3 * 125)/6
Luas = 250/6 - 375/6
Luas = -125/6

Karena luas tidak mungkin negatif, kita ambil nilai absolutnya. Namun, ada kesalahan dalam asumsi parabola di atas garis. Mari kita periksa kembali. Untuk x=2, y=4-10-6 = -12. Sedangkan y=-6. Jadi parabola berada di bawah garis.

Maka integralnya seharusnya:
Luas = ∫[dari 0 sampai 5] (-6 - (x^2 - 5x - 6)) dx
Luas = ∫[dari 0 sampai 5] (-6 - x^2 + 5x + 6) dx
Luas = ∫[dari 0 sampai 5] (-x^2 + 5x) dx

Hitung integralnya:
Luas = [-x^3/3 + 5x^2/2] [dari 0 sampai 5]

Evaluasi integral pada batas atas dan batas bawah:
Luas = [-(5^3)/3 + 5(5^2)/2] - [-(0^3)/3 + 5(0^2)/2]
Luas = [-125/3 + 125/2] - [0]

Samakan penyebutnya:
Luas = (-2 * 125)/6 + (3 * 125)/6
Luas = -250/6 + 375/6
Luas = 125/6

Jadi, luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y=x^2-5x-6 dan garis y=-6 adalah 125/6 satuan luas.