Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y=akar(x)+1 dan

1/12

Pembahasan

Soal ini meminta untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = akar(x) + 1 dan garis singgungnya melalui titik (0, 3/2).

Langkah 1: Cari persamaan garis singgung.
Turunan dari y = akar(x) + 1 adalah y' = 1/(2*akar(x)).
Misalkan titik singgungnya adalah (a, akar(a) + 1).
Gradien garis singgung di titik tersebut adalah m = 1/(2*akar(a)).
Persamaan garis singgung: y - (akar(a) + 1) = [1/(2*akar(a))] * (x - a).

Karena garis singgung melalui (0, 3/2):
(3/2) - (akar(a) + 1) = [1/(2*akar(a))] * (0 - a)
1/2 - akar(a) = -a / (2*akar(a))
1/2 - akar(a) = -akar(a) / 2
1/2 = akar(a) - akar(a)/2
1/2 = akar(a)/2
1 = akar(a)
a = 1.

Jika a=1, maka titik singgungnya adalah (1, akar(1) + 1) = (1, 2).
Gradiennya m = 1/(2*akar(1)) = 1/2.
Persamaan garis singgung: y - 2 = (1/2)(x - 1) => y = (1/2)x - 1/2 + 2 => y = (1/2)x + 3/2. Ini sesuai dengan titik yang diberikan (0, 3/2).

Langkah 2: Cari batas integrasi.
Kita perlu mencari titik potong antara parabola y = akar(x) + 1 dan garis singgung y = (1/2)x + 3/2.
Karena kita tahu garis singgungnya bersinggungan di x=1, dan melalui (0, 3/2), kita akan mengintegrasikan dari 0 hingga 1.

Langkah 3: Hitung luas daerah.
Luas = Integral dari [fungsi atas - fungsi bawah] dx dari batas bawah ke batas atas.
Luas = Integral dari [(akar(x) + 1) - ((1/2)x + 3/2)] dx dari 0 ke 1.
Luas = Integral dari [x^(1/2) + 1 - (1/2)x - 3/2] dx dari 0 ke 1.
Luas = Integral dari [x^(1/2) - (1/2)x - 1/2] dx dari 0 ke 1.

Integral dari x^(1/2) adalah (2/3)x^(3/2).
Integral dari -(1/2)x adalah -(1/4)x^2.
Integral dari -1/2 adalah -(1/2)x.

Evaluasi dari 0 ke 1:
[(2/3)(1)^(3/2) - (1/4)(1)^2 - (1/2)(1)] - [(2/3)(0)^(3/2) - (1/4)(0)^2 - (1/2)(0)]
= [2/3 - 1/4 - 1/2] - [0]
= (8/12 - 3/12 - 6/12)
= -1/12.

Karena luas tidak bisa negatif, ada kesalahan dalam menentukan fungsi atas dan bawah, atau titik potongnya. Mari kita periksa kembali.

Titik potong y = akar(x) + 1 dan y = (1/2)x + 3/2:
(1/2)x + 3/2 = akar(x) + 1
(1/2)x + 1/2 = akar(x)
Kuadratkan kedua sisi:
((1/2)x + 1/2)^2 = x
(1/4)x^2 + 2*(1/2)x*(1/2) + 1/4 = x
(1/4)x^2 + (1/2)x + 1/4 = x
(1/4)x^2 - (1/2)x + 1/4 = 0
Kalikan dengan 4:
x^2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)^2 = 0
x = 1. Ini mengkonfirmasi titik singgung di x=1.

Kita perlu mengintegrasikan dari titik di mana garis singgung melalui (0, 3/2) dan menyentuh kurva. Titik tersebut adalah x=0 (titik yang diberikan) sampai titik singgung x=1.
Pada interval [0, 1], mari kita periksa mana yang lebih besar antara y = akar(x) + 1 dan y = (1/2)x + 3/2.
Ambil x = 1/4:
y_parabola = sqrt(1/4) + 1 = 1/2 + 1 = 3/2.
y_garis = (1/2)(1/4) + 3/2 = 1/8 + 3/2 = 1/8 + 12/8 = 13/8.
3/2 = 12/8. Jadi y_garis lebih besar.

Luas = Integral dari [((1/2)x + 3/2) - (akar(x) + 1)] dx dari 0 ke 1.
Luas = Integral dari [(1/2)x + 3/2 - akar(x) - 1] dx dari 0 ke 1.
Luas = Integral dari [(1/2)x - akar(x) + 1/2] dx dari 0 ke 1.

Integral dari (1/2)x adalah (1/4)x^2.
Integral dari -akar(x) adalah -(2/3)x^(3/2).
Integral dari 1/2 adalah (1/2)x.

Evaluasi dari 0 ke 1:
[(1/4)(1)^2 - (2/3)(1)^(3/2) + (1/2)(1)] - [(1/4)(0)^2 - (2/3)(0)^(3/2) + (1/2)(0)]
= [1/4 - 2/3 + 1/2] - [0]
= (3/12 - 8/12 + 6/12)
= 1/12.

Perlu dicatat bahwa soal meminta luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan *garis-garis singgungnya* melalui titik (0, 3/2). Karena hanya ada satu garis singgung yang dapat ditarik dari titik di luar kurva ke kurva tersebut, maka yang dimaksud adalah luas antara kurva dan garis singgung tersebut. Namun, jika maksudnya adalah luas antara kurva, garis singgung, dan sumbu y, maka integrasinya adalah dari 0 sampai 1. Jika yang dimaksud adalah luas di bawah garis singgung saja, maka itu akan menjadi luas trapesium.